Tente evitar perda de dígitos significantes no cálculo das seguintes funções:
(b)
, para
próximo de zero;
(b)
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem que calcular
quando é bem pequenininho. A matéria é sobre “perda de dígitos significantes” ou “cancelamento catastrófico” em subtrações de números muito próximos. Pra resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica que evita essa subtração direta e, por consequência, o cancelamento.
quando
Passo 2
Primeiro, por que dá problema?
- Se
é próximo de zero, e ficam quase iguais, então a subtração direta tira muitos dígitos iguais e sobra só um restinho – e isso gera erros numéricos enormes. - Em vez de , vamos usar a identidade clássica:
Aqui, basta colocar
e
.
Passo 3
Aplicando a identidade:
Agora simplifica cada parte:
-
. -
Então fica
Passo 4
Por que isso ajuda?
- para
pequeno é um número pequeno, mas não vem de uma subtração entre valores quase iguais. - A multiplicação por
é estável porque não está próximo de zero (a menos que você esteja num caso extremo, mas aí seria problema diferente). - Assim, evitamos o cancelamento catastrófico.
Resposta
Essa forma é bem mais precisa numericamente quando
é pequeno.