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(a) Prove que, num triângulo retângulo, a medida da mediana relativa a hipotenusa tem medida igual a metade da hipotenusa.
(b) Prove que, se em um triângulo qualquer, a medida de uma mediana é igual a metade do lado oposto, então este triângulo é retângulo.

Passo 1

O enunciado tem dois itens:
(a) Mostrar que, num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa.
(b) Mostrar que, num triângulo qualquer, se uma mediana vale metade do lado oposto, então o triângulo é retângulo.
Vamos usar a fórmula geral do comprimento de uma mediana e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Seja ABC um triângulo retângulo em B, com hipotenusa AC. Denote AB=b, BC=a e AC=c. Seja M o ponto médio de AC e BM a mediana à hipotenusa.

Passo 3

Pela fórmula da mediana ao lado de comprimento c temos
BM^2 \;=\;\frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4}
isto é,
BM^2 = \frac{2b^2 + 2a^2 - c^2}{4}.

Passo 4

Como ABC é retângulo em B, vale c^2 = a^2 + b^2. Substituindo em BM^2:
BM^2 = \frac{2b^2 + 2a^2 - (a^2 + b^2)}{4} = \frac{a^2 + b^2}{4} = \frac{c^2}{4}.
Logo
BM = \frac{c}{2},
ou seja, a mediana à hipotenusa vale metade dela.
Isso demonstra o item (a).

Passo 5

Para o item (b), seja ABC qualquer triângulo e AM a mediana ao lado BC de comprimento a. Suponha
AM = \frac{a}{2}.
Pela mesma fórmula da mediana (agora com AM = m_a),
m_a^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} \quad\text{e}\quad m_a^2 = \frac{a^2}{4}.
Igualando:
\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} = \frac{a^2}{4} \;\Longrightarrow\; 2b^2 + 2c^2 - a^2 = a^2 \;\Longrightarrow\; b^2 + c^2 = a^2.
Pelo Teorema de Pitágoras, isso implica que ABC é um triângulo retângulo em A.

Resposta

(a) Em um triângulo retângulo, a mediana à hipotenusa mede metade da hipotenusa.
(b) Se a mediana de um triângulo vale metade do lado oposto, então esse triângulo é retângulo.

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