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(a) Prove que, num triângulo retângulo, a medida da mediana relativa a hipotenusa tem medida igual a metade da hipotenusa.
(b) Prove que, se em um triângulo qualquer, a medida de uma mediana é igual a metade do lado oposto, então este triângulo é retângulo.
(b) Prove que, se em um triângulo qualquer, a medida de uma mediana é igual a metade do lado oposto, então este triângulo é retângulo.
Passo 1
O enunciado tem dois itens:
(a) Mostrar que, num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa.
(b) Mostrar que, num triângulo qualquer, se uma mediana vale metade do lado oposto, então o triângulo é retângulo.
Vamos usar a fórmula geral do comprimento de uma mediana e o Teorema de Pitágoras.
(a) Mostrar que, num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa.
(b) Mostrar que, num triângulo qualquer, se uma mediana vale metade do lado oposto, então o triângulo é retângulo.
Vamos usar a fórmula geral do comprimento de uma mediana e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Seja
um triângulo retângulo em
, com hipotenusa
. Denote
,
e
. Seja
o ponto médio de
e
a mediana à hipotenusa.
Passo 3
Pela fórmula da mediana ao lado de comprimento
temos
isto é,
Passo 4
Como
é retângulo em
, vale
. Substituindo em
:
Logo
ou seja, a mediana à hipotenusa vale metade dela.
Isso demonstra o item (a).
Isso demonstra o item (a).
Passo 5
Para o item (b), seja
qualquer triângulo e
a mediana ao lado
de comprimento
. Suponha
Pela mesma fórmula da mediana (agora com
),
Igualando:
Pelo Teorema de Pitágoras, isso implica que
é um triângulo retângulo em
.
Resposta
(a) Em um triângulo retângulo, a mediana à hipotenusa mede metade da hipotenusa.
(b) Se a mediana de um triângulo vale metade do lado oposto, então esse triângulo é retângulo.
(b) Se a mediana de um triângulo vale metade do lado oposto, então esse triângulo é retângulo.