Um terreno retangular de
por
será cercado. Em toda a volta deste cercado serão plantadas árvores igualmente espaçadas. Qual o maior espaço possível entre as árvores?
Passo 1
O enunciado dá um terreno retangular com lados de comprimento
e
. Em toda a volta do cercado (ou seja, ao longo do perímetro) serão plantadas árvores igualmente espaçadas. A pergunta é: qual o maior espaço possível entre árvores (em metros)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
(comprimento de um lado);
(comprimento do outro lado);
as árvores devem ficar igualmente espaçadas ao longo de todo o contorno (perímetro).
as árvores devem ficar igualmente espaçadas ao longo de todo o contorno (perímetro).
Passo 2
Para maximizar a distância entre árvores mantendo-as igualmente espaçadas ao longo do contorno, é conveniente imaginar que as divisões formadas pelo espaçamento coincidam com os lados do retângulo de modo que cada lado seja um número inteiro de intervalos iguais. Ou seja: se
for o espaçamento entre árvores, então o comprimento de cada lado deve ser múltiplo de
. Isso porque, ao caminhar ao longo de um lado contando intervalos de comprimento
, chegamos ao canto exatamente após um número inteiro de intervalos — assim os cantos também ficam ocupados por árvores e o padrão se fecha corretamente ao redor do perímetro.
Portanto
deve ser um divisor comum dos dois comprimentos
e
.
Passo 3
Como queremos o maior espaçamento possível, devemos escolher o maior divisor comum de
e
. Esse número é o máximo divisor comum (máximo divisor comum = MDC, também chamado de gcd em inglês).
Vou calcular o MDC de
e
usando o algoritmo de Euclides. O algoritmo consiste em fazer divisões sucessivas e tomar restos até obter resto zero; o último divisor não nulo é o MDC.
Passo 4
Aplicando o algoritmo de Euclides:
(ou seja,
).
Passo 5
Continuamos com os números
e
:
(ou seja,
).
Passo 6
Continuamos com
e
:
Como o resto agora é zero, o último resto não nulo é
. Logo o MDC é
.
Passo 7
Interpretação: o maior espaçamento
que divide simultaneamente
e
é
. Assim podemos colocar árvores a cada
metros ao redor do contorno, e cada lado será um número inteiro de intervalos de
:
Passo 8
Como extra (opcional): o perímetro do terreno é
então com espaçamento de
teremos
intervalos, isto é,
árvores igualmente espaçadas ao redor do terreno.