Um terreno retangular de 221 m por 117 m será cercado. Em toda a volta deste cercado serão plantadas árvores igualmente espaçadas. Qual o maior espaço possível entre as árvores?

Passo 1

O enunciado dá um terreno retangular com lados de comprimento \,221\\ \text{m} e \,117\\ \text{m}. Em toda a volta do cercado (ou seja, ao longo do perímetro) serão plantadas árvores igualmente espaçadas. A pergunta é: qual o maior espaço possível entre árvores (em metros)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\,221\\ \text{m} (comprimento de um lado);
\,117\\ \text{m} (comprimento do outro lado);
as árvores devem ficar igualmente espaçadas ao longo de todo o contorno (perímetro).

Passo 2

Para maximizar a distância entre árvores mantendo-as igualmente espaçadas ao longo do contorno, é conveniente imaginar que as divisões formadas pelo espaçamento coincidam com os lados do retângulo de modo que cada lado seja um número inteiro de intervalos iguais. Ou seja: se d for o espaçamento entre árvores, então o comprimento de cada lado deve ser múltiplo de d. Isso porque, ao caminhar ao longo de um lado contando intervalos de comprimento d, chegamos ao canto exatamente após um número inteiro de intervalos — assim os cantos também ficam ocupados por árvores e o padrão se fecha corretamente ao redor do perímetro.
Portanto d deve ser um divisor comum dos dois comprimentos \,221 e \,117.

Passo 3

Como queremos o maior espaçamento possível, devemos escolher o maior divisor comum de \,221 e \,117. Esse número é o máximo divisor comum (máximo divisor comum = MDC, também chamado de gcd em inglês).
Vou calcular o MDC de \,221 e \,117 usando o algoritmo de Euclides. O algoritmo consiste em fazer divisões sucessivas e tomar restos até obter resto zero; o último divisor não nulo é o MDC.

Passo 4

Aplicando o algoritmo de Euclides:
221 = 117 \times 1 + 104
(ou seja, 221-117=104).

Passo 5

Continuamos com os números 117 e 104:
117 = 104 \times 1 + 13
(ou seja, 117-104=13).

Passo 6

Continuamos com 104 e 13:
104 = 13 \times 8 + 0.
Como o resto agora é zero, o último resto não nulo é \,13. Logo o MDC é \,13.

Passo 7

Interpretação: o maior espaçamento d que divide simultaneamente \,221 e \,117 é \,13. Assim podemos colocar árvores a cada \,13 metros ao redor do contorno, e cada lado será um número inteiro de intervalos de \,13\\ \text{m}:
221 = 13 \times 17,\qquad 117 = 13 \times 9.

Passo 8

Como extra (opcional): o perímetro do terreno é
2(221+117)=676\\ \text{m},
então com espaçamento de \,13\\ \text{m} teremos \,676/13=52 intervalos, isto é, \,52 árvores igualmente espaçadas ao redor do terreno.

Resposta

13\\ \text{m}

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