Achar os inteiros
e
que verifiquem a seguinte igualdade
\quad 104 x+91 y=13
\quad 104 x+91 y=13
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os inteiros
e
que satisfazem a equação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Objetivo: determinar todos os pares inteiros
que tornam verdadeira a igualdade.
Passo 2
Primeiro conceito importante: uma equação linear diofantina do tipo
tem solução inteira somente se o máximo divisor comum
divide
. Vou explicar o que é
: é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
. Portanto, antes de tentar achar soluções, vamos calcular
e verificar se divide
.
Passo 3
Calculemos
pelo algoritmo de Euclides (vou mostrar passo a passo):
Como o resto passou a ser
, o último resto não nulo é
.
Conclusão: .
Conclusão:
Passo 4
Como
e o termo à direita também é
, temos que
divide
. Logo a equação original admite soluções inteiras. Uma boa prática é simplificar a equação dividindo todos os termos por
. Isso deixa uma equação equivalente, mas com coeficientes menores:
o que resulta em
Explicação: dividir por
preserva as soluções inteiras porque qualquer solução inteira da equação original satisfaz esta reduzida, e vice-versa (após multiplicar por
).
Passo 5
Agora vamos resolver a equação reduzida
Uma maneira prática é usar aritmética modular para encontrar
ou
. Por exemplo, reduzir ambos os lados módulo
(pois o coeficiente de
é
) elimina
e nos dá uma condição sobre
. Reduzindo módulo
:
Como
, isso simplifica para
Agora precisamos entender
módulo
:
. Portanto a congruência fica
ou seja
Interpretação: todos os inteiros
que satisfazem a equação devem ser da forma
para algum inteiro
. Aqui eu usei a noção de classes modulares: dizer
é o mesmo que escrever
com
.
Passo 6
Substituímos a expressão
na equação reduzida para encontrar
. Substituição:
Desenvolvendo e organizando:
Passando
para o outro lado:
Agora observe que todos os termos do lado esquerdo são múltiplos de
; podemos dividir a igualdade inteira por
(isto é permitido porque
é divisor comum dos três termos):
Isolando
:
Aqui
é um parâmetro inteiro que descreve todas as soluções possíveis.
Passo 7
Interpretando o que achamos: para cada inteiro
temos uma solução inteira dada por
e
. Vou checar rapidamente dois exemplos para ganhar confiança:
- Para
: , . Verificação na equação original:
funciona.
- Para
: , . Verificação:
também funciona.
Conclusão: há infinitas soluções inteiras, todas obtidas com o parâmetro inteiro
.