Achar os inteiros x e y que verifiquem a seguinte igualdade
\quad 104 x+91 y=13

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os inteiros x e y que satisfazem a equação
104x+91y=13.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{coeficientes: }104\text{ e }91,\qquad\text{termo independente: }13.
Objetivo: determinar todos os pares inteiros (x,y) que tornam verdadeira a igualdade.

Passo 2

Primeiro conceito importante: uma equação linear diofantina do tipo
ax+by=c
tem solução inteira somente se o máximo divisor comum \gcd(a,b) divide c. Vou explicar o que é \gcd(a,b): é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b. Portanto, antes de tentar achar soluções, vamos calcular \gcd(104,91) e verificar se divide 13.

Passo 3

Calculemos \gcd(104,91) pelo algoritmo de Euclides (vou mostrar passo a passo):
104 = 91\cdot 1 + 13,
91 = 13\cdot 7 + 0.
Como o resto passou a ser 0, o último resto não nulo é \gcd(104,91)=13.
Conclusão: \gcd(104,91)=13.

Passo 4

Como \gcd(104,91)=13 e o termo à direita também é 13, temos que 13 divide 13. Logo a equação original admite soluções inteiras. Uma boa prática é simplificar a equação dividindo todos os termos por \gcd=13. Isso deixa uma equação equivalente, mas com coeficientes menores:
\frac{104}{13}x+\frac{91}{13}y=\frac{13}{13}
o que resulta em
8x+7y=1.
Explicação: dividir por \gcd preserva as soluções inteiras porque qualquer solução inteira da equação original satisfaz esta reduzida, e vice-versa (após multiplicar por 13).

Passo 5

Agora vamos resolver a equação reduzida
8x+7y=1.
Uma maneira prática é usar aritmética modular para encontrar x ou y. Por exemplo, reduzir ambos os lados módulo 7 (pois o coeficiente de y é 7) elimina y e nos dá uma condição sobre x. Reduzindo módulo 7:
8x+7y\equiv 1 \pmod{7}.
Como 7y\equiv 0\pmod{7}, isso simplifica para
8x\equiv 1 \pmod{7}.
Agora precisamos entender 8 módulo 7: 8\equiv 1\pmod{7}. Portanto a congruência fica
1\cdot x \equiv 1 \pmod{7},
ou seja
x\equiv 1 \pmod{7}.
Interpretação: todos os inteiros x que satisfazem a equação devem ser da forma x=1+7t para algum inteiro t. Aqui eu usei a noção de classes modulares: dizer x\equiv 1\pmod{7} é o mesmo que escrever x=1+7t com t\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Substituímos a expressão x=1+7t na equação reduzida para encontrar y. Substituição:
8(1+7t)+7y=1.
Desenvolvendo e organizando:
8+56t+7y=1.
Passando 8 para o outro lado:
56t+7y=1-8=-7.
Agora observe que todos os termos do lado esquerdo são múltiplos de 7; podemos dividir a igualdade inteira por 7 (isto é permitido porque 7 é divisor comum dos três termos):
8t+y=-1.
Isolando y:
y=-1-8t.
Aqui t é um parâmetro inteiro que descreve todas as soluções possíveis.

Passo 7

Interpretando o que achamos: para cada inteiro t temos uma solução inteira dada por x=1+7t e y=-1-8t. Vou checar rapidamente dois exemplos para ganhar confiança:
  • Para t=0: x=1, y=-1. Verificação na equação original:
104\cdot 1 + 91\cdot(-1) = 104 - 91 = 13,
funciona.
  • Para t=1: x=8, y=-9. Verificação:
104\cdot 8 + 91\cdot(-9) = 832 - 819 = 13,
também funciona.
Conclusão: há infinitas soluções inteiras, todas obtidas com o parâmetro inteiro t.

Resposta

x=1+7t,\quad y=-1-8t,\quad t\in\mathbb{Z}

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