Três rolos de arame farpado têm, respectivamente, 168 m,
e
. Deseja-se cortá-los em partes de comprimentos iguais, de maneira que cada parte seja a maior possível. Qual o comprimento e o número de partes?
Passo 1
Dados fornecidos: três rolos de arame farpado com comprimentos
,
e
.
O que o enunciado pede: encontrar (1) o comprimento de cada parte, sendo esse comprimento o maior possível e (2) o número de partes obtidas de cada rolo.
O que o enunciado pede: encontrar (1) o comprimento de cada parte, sendo esse comprimento o maior possível e (2) o número de partes obtidas de cada rolo.
Passo 2
Entendimento do que precisamos fazer (sem resolver ainda): queremos cortar os três rolos em partes de mesmo comprimento, e esse comprimento deve ser o maior possível que divida exatamente os três comprimentos dados. Em linguagem simples: precisamos encontrar o maior número inteiro
tal que
divide
,
e
simultaneamente. Esse
é o máximo divisor comum (MDC) dos três números. Vou usar o algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) para calcular o MDC de forma direta e eficiente — é um método básico e rápido para provas e não exige fatoração complicada.
Passo 3
Recordando o passo do algoritmo de Euclides: para dois inteiros
e
com
fazemos a divisão
O MDC
é igual ao MDC
. Repetimos até o resto ser zero; o último divisor não nulo é o MDC. Vamos aplicar isso primeiro a
e
.
Passo 4
Calculemos a divisão de
por
:
Logo MDC
MDC
.
Agora dividimos
por
:
Então MDC
MDC
.
Dividimos
por
:
Logo MDC
MDC
.
Dividimos
por
:
Aqui o resto é
, então o último divisor não nulo é
. Portanto
Passo 5
Agora precisamos do MDC entre o resultado
e o terceiro comprimento
, porque queremos um divisor comum aos três números. Verificamos se
divide
:
ou escrevendo como divisão:
O resto é
, portanto
divide
. Assim
Passo 6
Interpretação: o maior comprimento possível de cada parte é
. Se tentássemos um comprimento maior que
, ele não seria divisor comum dos três comprimentos (pois
é o máximo divisor comum). Portanto
é a resposta correta para o comprimento de cada parte.
Passo 7
Agora calculamos quantas partes cada rolo fornece, dividindo cada comprimento por
:
Para o rolo de
:
Para o rolo de
:
Para o rolo de
:
Resposta
Comprimento de cada parte:
Número de partes:
Número de partes: