Três rolos de arame farpado têm, respectivamente, 168 m, 264 m e 312 m. Deseja-se cortá-los em partes de comprimentos iguais, de maneira que cada parte seja a maior possível. Qual o comprimento e o número de partes?

Passo 1

Dados fornecidos: três rolos de arame farpado com comprimentos 168\\ \text{m}, 264\\ \text{m} e 312\\ \text{m}.
O que o enunciado pede: encontrar (1) o comprimento de cada parte, sendo esse comprimento o maior possível e (2) o número de partes obtidas de cada rolo.

Passo 2

Entendimento do que precisamos fazer (sem resolver ainda): queremos cortar os três rolos em partes de mesmo comprimento, e esse comprimento deve ser o maior possível que divida exatamente os três comprimentos dados. Em linguagem simples: precisamos encontrar o maior número inteiro d>0 tal que d divide 168, 264 e 312 simultaneamente. Esse d é o máximo divisor comum (MDC) dos três números. Vou usar o algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) para calcular o MDC de forma direta e eficiente — é um método básico e rápido para provas e não exige fatoração complicada.

Passo 3

Recordando o passo do algoritmo de Euclides: para dois inteiros a e b com a\ge b fazemos a divisão
a = b\cdot q + r,\qquad 0\le r<b.
O MDC (a,b) é igual ao MDC (b,r). Repetimos até o resto ser zero; o último divisor não nulo é o MDC. Vamos aplicar isso primeiro a 168 e 264.

Passo 4

Calculemos a divisão de 264 por 168:
264 = 168\cdot 1 + 96.
Logo MDC (264,168)= MDC (168,96).
Agora dividimos 168 por 96:
168 = 96\cdot 1 + 72.
Então MDC (168,96)= MDC (96,72).
Dividimos 96 por 72:
96 = 72\cdot 1 + 24.
Logo MDC (96,72)= MDC (72,24).
Dividimos 72 por 24:
72 = 24\cdot 3 + 0.
Aqui o resto é 0, então o último divisor não nulo é 24. Portanto
\text{MDC}(168,264)=24.

Passo 5

Agora precisamos do MDC entre o resultado 24 e o terceiro comprimento 312, porque queremos um divisor comum aos três números. Verificamos se 24 divide 312:
312 \div 24 = 13,
ou escrevendo como divisão:
312 = 24\cdot 13 + 0.
O resto é 0, portanto 24 divide 312. Assim
\text{MDC}(168,264,312)=24.

Passo 6

Interpretação: o maior comprimento possível de cada parte é 24\\ \text{m}. Se tentássemos um comprimento maior que 24, ele não seria divisor comum dos três comprimentos (pois 24 é o máximo divisor comum). Portanto 24\\ \text{m} é a resposta correta para o comprimento de cada parte.

Passo 7

Agora calculamos quantas partes cada rolo fornece, dividindo cada comprimento por 24:
Para o rolo de 168\\ \text{m}:
\frac{168}{24}=7.
Para o rolo de 264\\ \text{m}:
\frac{264}{24}=11.
Para o rolo de 312\\ \text{m}:
\frac{312}{24}=13.

Resposta

Comprimento de cada parte: 24\\ \text{m}
Número de partes: 7,\;11,\;13

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