Quais os dois menores números pelos quais devemos multiplicar 30 e 54 para que os produtos obtidos sejam iguais?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quais os dois menores números pelos quais devemos multiplicar
e
para que os produtos obtidos sejam iguais?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Temos os números
e . - Queremos encontrar dois números inteiros positivos (um para multiplicar
e outro para multiplicar ) de modo que os dois produtos sejam iguais. - Queremos os menores números possíveis (ou seja, a solução com os menores multiplicadores positivos).
Passo 2
Entendendo o que isso significa em linguagem matemática (sem resolver ainda): se chamarmos os multiplicadores de
(para
) e
(para
), procuramos inteiros positivos
e
tais que
Isso significa que o produto comum que queremos é um múltiplo comum de
e
. O menor produto comum (o menor múltiplo positivo que ambos podem alcançar) é o mínimo múltiplo comum, o chamado m.m.c. (ou LCM em inglês). Então a estratégia será achar o m.m.c. de
e
e obter
e
dividindo esse m.m.c. por
e por
.
Passo 3
Vou ensinar duas formas básicas de obter o m.m.c., e depois uso uma delas para resolver o problema: (A) fatoração em primos; (B) usando o
(máximo divisor comum) e a fórmula
. Ambas são úteis em prova; eu mostro as duas para você aprender.
Passo 4
Método A — fatoração em primos (a mais direta e ensinada frequentemente):
- Fatore
em primos:
- Fatore
em primos:
Para obter o m.m.c. pegamos, para cada primo, a maior potência presente em qualquer um dos números. Assim:
- potência de
: maior entre (em ) e (em ) é ; - potência de
: maior entre (em ) e (em ) é ; - potência de
: aparece em como e não aparece em , então pega-se .
Logo
Calculemos esse valor:
Portanto
Passo 5
Com o m.m.c. em mãos, os multiplicadores mínimos são simplesmente
Calculando:
Ou seja, multiplicando
por
e
por
obtemos ambos o produto
.
Passo 6
Método B — usando
(uma checagem rápida e muito útil em prova):
- Primeiro calcule
. Pela fatoração já vista:
- A fórmula que relaciona
e é
Aplicando:
que confirma o resultado anterior. A partir daí obtemos os mesmos
e
como no passo anterior:
Passo 7
Por que esses são os menores multiplicadores? Intuitivamente: qualquer produto comum deve ser um múltiplo do m.m.c.; se você quer multiplicadores inteiros positivos mínimos, escolha o menor múltiplo comum (o m.m.c.). Assim os multiplicadores obtidos dividindo o m.m.c. pelos números originais são os menores possíveis. Outra maneira de ver isso é resolver a equação
e dividir ambos os lados por
, obtendo
Como
e
são coprimos, a menor solução inteira positiva é
,
(multiplicando ambos por
daria soluções maiores).
Passo 8
Pequeno exemplo extra para fixar (aplicando o mesmo raciocínio): para
e
,
-
, - multiplicadores mínimos:
e .
Isso mostra a mecânica: achar m.m.c. e dividir.
Resposta
Para
:
\n
Para :
Para