Quais os dois menores números pelos quais devemos multiplicar 30 e 54 para que os produtos obtidos sejam iguais?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quais os dois menores números pelos quais devemos multiplicar 30 e 54 para que os produtos obtidos sejam iguais?”\n
Informações dadas:
  • Temos os números 30 e 54.
  • Queremos encontrar dois números inteiros positivos (um para multiplicar 30 e outro para multiplicar 54) de modo que os dois produtos sejam iguais.
  • Queremos os menores números possíveis (ou seja, a solução com os menores multiplicadores positivos).

Passo 2

Entendendo o que isso significa em linguagem matemática (sem resolver ainda): se chamarmos os multiplicadores de x (para 30) e y (para 54), procuramos inteiros positivos x e y tais que
30x = 54y.
Isso significa que o produto comum que queremos é um múltiplo comum de 30 e 54. O menor produto comum (o menor múltiplo positivo que ambos podem alcançar) é o mínimo múltiplo comum, o chamado m.m.c. (ou LCM em inglês). Então a estratégia será achar o m.m.c. de 30 e 54 e obter x e y dividindo esse m.m.c. por 30 e por 54.

Passo 3

Vou ensinar duas formas básicas de obter o m.m.c., e depois uso uma delas para resolver o problema: (A) fatoração em primos; (B) usando o \gcd (máximo divisor comum) e a fórmula \mathrm{m.m.c.} = \dfrac{a\cdot b}{\gcd(a,b)}. Ambas são úteis em prova; eu mostro as duas para você aprender.

Passo 4

Método A — fatoração em primos (a mais direta e ensinada frequentemente):
  • Fatore 30 em primos:
30 = 2 \cdot 3 \cdot 5.
  • Fatore 54 em primos:
54 = 2 \cdot 3^3 \qquad\text{(porque \(54 = 2\cdot27\) e \(27=3^3\)).}
Para obter o m.m.c. pegamos, para cada primo, a maior potência presente em qualquer um dos números. Assim:
  • potência de 2: maior entre 2^1 (em 30) e 2^1 (em 54) é 2^1;
  • potência de 3: maior entre 3^1 (em 30) e 3^3 (em 54) é 3^3;
  • potência de 5: aparece em 30 como 5^1 e não aparece em 54, então pega-se 5^1.
    Logo
\mathrm{m.m.c.}(30,54) = 2^1\cdot 3^3 \cdot 5^1.
Calculemos esse valor:
3^3 = 27,\quad 2\cdot 27 = 54,\quad 54\cdot 5 = 270.
Portanto
\mathrm{m.m.c.}(30,54)=270.

Passo 5

Com o m.m.c. em mãos, os multiplicadores mínimos são simplesmente
x = \frac{\mathrm{m.m.c.}}{30} \quad\text{e}\quad y = \frac{\mathrm{m.m.c.}}{54}.
Calculando:
x = \frac{270}{30} = 9,
y = \frac{270}{54} = 5.
Ou seja, multiplicando 30 por 9 e 54 por 5 obtemos ambos o produto 270.

Passo 6

Método B — usando \gcd (uma checagem rápida e muito útil em prova):
  • Primeiro calcule \gcd(30,54). Pela fatoração já vista:
\gcd(30,54) = 2\cdot 3 = 6.
  • A fórmula que relaciona \mathrm{m.m.c.} e \gcd é
\mathrm{m.m.c.}(a,b) = \frac{a\cdot b}{\gcd(a,b)}.
Aplicando:
\mathrm{m.m.c.}(30,54) = \frac{30\cdot 54}{6} = \frac{1620}{6} = 270,
que confirma o resultado anterior. A partir daí obtemos os mesmos x e y como no passo anterior:
x=\frac{270}{30}=9,\quad y=\frac{270}{54}=5.

Passo 7

Por que esses são os menores multiplicadores? Intuitivamente: qualquer produto comum deve ser um múltiplo do m.m.c.; se você quer multiplicadores inteiros positivos mínimos, escolha o menor múltiplo comum (o m.m.c.). Assim os multiplicadores obtidos dividindo o m.m.c. pelos números originais são os menores possíveis. Outra maneira de ver isso é resolver a equação
30x=54y
e dividir ambos os lados por \gcd(30,54)=6, obtendo
5x = 9y.
Como 5 e 9 são coprimos, a menor solução inteira positiva é x=9, y=5 (multiplicando ambos por t daria soluções maiores).

Passo 8

Pequeno exemplo extra para fixar (aplicando o mesmo raciocínio): para 8 e 12,
  • \mathrm{m.m.c.}(8,12)=24,
  • multiplicadores mínimos: \dfrac{24}{8}=3 e \dfrac{24}{12}=2.
    Isso mostra a mecânica: achar m.m.c. e dividir.

Resposta

Para 30: 9\n
Para 54: 5

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