Teste as séries quanto a convergência ou divergência: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n^{n}}\,, use o teste da raiz.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{n^{n}}
usando o teste da raiz.
Observações iniciais importantes:
O termo com n=0 envolve 0^{0}, que é indeterminado em análise clássica. Para evitar essa ambiguidade, suponho que a intenção do enunciado é que a soma comece em n=1. Portanto vou trabalhar com a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{n^{n}}.
O objetivo imediato é aplicar o teste da raiz ao termo geral a_{n}=\dfrac{(-2)^{n}}{n^{n}}.
Passo 2
Explicação didática do teste da raiz (o “como funciona” e por que usá-lo).
O teste da raiz diz: para uma série \sum a_{n} considere
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}.
Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição simples: \sqrt[n]{|a_n|} mede a “razão efetiva” do termo quando comparada a uma progressão geométrica. Se essa razão tende a um número menor que 1, os termos decaem mais rápido que uma geométrica convergente e a série converge absolutamente.
Passo 3
Aplicar o teste da raiz ao termo geral. Primeiro escrevo o módulo do termo a_{n}:
converge. Portanto a série original \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-2)^{n}}{n^{n}} também converge (condição mais forte).
Intuição adicional: para n grande, \left(\dfrac{2}{n}\right)^{n} é extremamente pequeno (decai muito mais rápido que qualquer potência ou que uma geométrica com razão fixa <1), daí a soma convergente.