Teste as séries quanto a convergência ou divergência:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n^{n}}\,, use o teste da raiz.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{n^{n}}
usando o teste da raiz.
Observações iniciais importantes:
  • O termo com n=0 envolve 0^{0}, que é indeterminado em análise clássica. Para evitar essa ambiguidade, suponho que a intenção do enunciado é que a soma comece em n=1. Portanto vou trabalhar com a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{n^{n}}.
  • O objetivo imediato é aplicar o teste da raiz ao termo geral a_{n}=\dfrac{(-2)^{n}}{n^{n}}.

Passo 2

Explicação didática do teste da raiz (o “como funciona” e por que usá-lo).
  • O teste da raiz diz: para uma série \sum a_{n} considere
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Intuição simples: \sqrt[n]{|a_n|} mede a “razão efetiva” do termo quando comparada a uma progressão geométrica. Se essa razão tende a um número menor que 1, os termos decaem mais rápido que uma geométrica convergente e a série converge absolutamente.

Passo 3

Aplicar o teste da raiz ao termo geral. Primeiro escrevo o módulo do termo a_{n}:
a_{n}=\frac{(-2)^{n}}{n^{n}}, \qquad |a_{n}|=\frac{2^{n}}{n^{n}}.
Reescrevo |a_{n}| como uma potência útil:
|a_{n}|=\left(\frac{2}{n}\right)^{n}.
Agora calculo a raiz n-ésima de |a_{n}|:
\sqrt[n]{|a_{n}|}=\sqrt[n]{\left(\frac{2}{n}\right)^{n}}=\frac{2}{n}.
Aqui usei a propriedade \sqrt[n]{x^{n}}=x quando x\ge0.

Passo 4

Calcular o limite (ou limsup) quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}=0.
Como o limite é 0, que é estritamente menor que 1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente.

Passo 5

Interpretação final e reforço didático.
  • Convergência absoluta significa que a série de módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-2)^{n}}{n^{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{n}\right)^{n}
converge. Portanto a série original \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-2)^{n}}{n^{n}} também converge (condição mais forte).
  • Intuição adicional: para n grande, \left(\dfrac{2}{n}\right)^{n} é extremamente pequeno (decai muito mais rápido que qualquer potência ou que uma geométrica com razão fixa <1), daí a soma convergente.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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