Teste as séries quanto a convergência ou divergência:
, use o teste da divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a série quanto à convergência ou divergência usando o teste da divergência. A série dada é
Informações relevantes:
- O termo geral da série é
. - O teste a ser usado é o teste da divergência (também chamado teste do termo geral).
Passo 2
Explicação do teste da divergência (fórmula e ideia): o teste afirma que, se
então a série
diverge. A razão lógica é simples e importante: se a soma parcial
tivesse limite finito quando
, então necessariamente os incrementos
deveriam tender a zero. Logo, um requisito necessário (mas não suficiente) para convergência é que
. Se isso não ocorrer, a série não pode convergir.
Observação pedagógica rápida: o teste da divergência só prova divergência quando o limite do termo geral não é zero. Se o limite for zero, o teste é inconclusivo (ex.: a série harmônica
tem
e mesmo assim diverge).
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral
. Escrevendo explicitamente
Divido numerador e denominador por
para ver o comportamento quando
:
Agora aplico propriedades de limites:
e
quando
. Portanto
Passo 4
Como
, pelo teste da divergência a série não converge. Conclusão imediata: a série diverge.
Passo 5
Comentário final motivador: isso significa, intuitivamente, que os termos da série não ficam pequenos o suficiente — eles tendem a
, então somando infinitos termos próximos de
o somatório cresce sem controle. Bom trabalho em seguir passo a passo — já é meio caminho andado!
Resposta
A série diverge.