Teste as séries quanto a convergência ou divergência:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{(n+3)^{2}}\,, use o teste da divergência.

Passo 1

O enunciado pede para testar a série quanto à convergência ou divergência usando o teste da divergência. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{(n+3)^{2}}.
Informações relevantes:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n(n+2)}{(n+3)^{2}}.
  • O teste a ser usado é o teste da divergência (também chamado teste do termo geral).

Passo 2

Explicação do teste da divergência (fórmula e ideia): o teste afirma que, se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \quad\text{ou}\quad \lim_{n\to\infty} a_n \text{ não existe},ã
então a série \sum a_n diverge. A razão lógica é simples e importante: se a soma parcial \sum_{k=1}^{N} a_k tivesse limite finito quando N\to\infty, então necessariamente os incrementos a_n = S_n - S_{n-1} deveriam tender a zero. Logo, um requisito necessário (mas não suficiente) para convergência é que a_n\to 0. Se isso não ocorrer, a série não pode convergir.
Observação pedagógica rápida: o teste da divergência só prova divergência quando o limite do termo geral não é zero. Se o limite for zero, o teste é inconclusivo (ex.: a série harmônica \sum 1/n tem a_n\to 0 e mesmo assim diverge).

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral a_n. Escrevendo explicitamente
a_n=\frac{n(n+2)}{(n+3)^2}=\frac{n^2+2n}{(n+3)^2}.
Divido numerador e denominador por n^2 para ver o comportamento quando n\to\infty:
a_n=\frac{1+\dfrac{2}{n}}{\Big(1+\dfrac{3}{n}\Big)^{2}}.
Agora aplico propriedades de limites: \dfrac{2}{n}\to 0 e \dfrac{3}{n}\to 0 quando n\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1+0}{(1+0)^2}=\frac{1}{1}=1.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0, pelo teste da divergência a série não converge. Conclusão imediata: a série diverge.

Passo 5

Comentário final motivador: isso significa, intuitivamente, que os termos da série não ficam pequenos o suficiente — eles tendem a 1, então somando infinitos termos próximos de 1 o somatório cresce sem controle. Bom trabalho em seguir passo a passo — já é meio caminho andado!

Resposta

A série diverge.

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