Teste as séries quanto a convergência ou divergência:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n+1}}{3^{n}-2}\,, use o teste da comparação.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n+1}}{3^{n}-2},
usando o teste da comparação. Dados importantes que temos explicitamente:
  • O termo geral é \dfrac{5^{n+1}}{3^{n}-2}.
  • Para todo n\ge 1 o denominador 3^{n}-2>0, logo os termos são positivos.
    Não vamos resolver ainda: só identifiquei o que é pedido e que os termos são positivos (o que permite aplicar o teste da comparação para séries de termos positivos).

Passo 2

Lembrete do teste da comparação (versão direta, para séries de termos não-negativos):
  • Se 0\le a_n \le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • Se 0\le b_n \le a_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge.
    Também lembrar rapidamente da série geométrica: a série \sum_{n=1}^\infty C r^n converge se, e somente se, |r|<1. Se |r|\ge1 diverge.

Passo 3

Escolher uma série com a qual comparar. Observe que para todo n\ge1 vale
3^{n}-2 \le 3^{n},
portanto, dividindo pelo denominador menor (positivo) obtemos uma desigualdade para os termos:
\frac{5^{n+1}}{3^{n}-2} \ge \frac{5^{n+1}}{3^{n}}.
Simplificando o lado direito:
\frac{5^{n+1}}{3^{n}} = 5\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^n.
Definimos então a_n=\dfrac{5^{n+1}}{3^{n}-2} e b_n=5\left(\dfrac{5}{3}\right)^n. Temos a_n\ge b_n para todo n\ge1.

Passo 4

Estudar a série comparadora \sum b_n=\sum_{n=1}^\infty 5\left(\dfrac{5}{3}\right)^n.
Isto é uma série geométrica com razão r=\dfrac{5}{3}. Como \left|\dfrac{5}{3}\right|=\dfrac{5}{3}>1, a série geométrica diverge (os termos não tendem a zero; crescem geometricamente). Logo \sum b_n diverge.

Passo 5

Aplicando o teste da comparação na forma para divergência: temos 0\le b_n \le a_n e \sum b_n diverge; assim \sum a_n também diverge. Em palavras: como cada termo da nossa série é maior ou igual a um termo de uma série geométrica divergente, a nossa série diverge.

Passo 6

Comentário adicional (cheque rápido): note que os termos a_n não tendem a zero porque, usando a mesma aproximação,
a_n \ge 5\left(\frac{5}{3}\right)^n \to \infty \quad\text{quando } n\to\infty,
então o teste do termo geral também indica que a série não pode convergir (um requisito necessário para convergência é que o termo geral tenda a zero). Isso reforça a conclusão anterior.

Resposta

A série diverge.

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