Considere a função f(x)=x^{3}-x-1.
(a) Aplique o método da Bissecção para encontrar uma aproximação de \xi \in[1,1.5], com \epsilon_{1}=0.05 e \epsilon_{2}=0.01.
(b) Seja \varphi(x)=\sqrt[3]{x+1} uma função de iteração, \xi \in[1,1.5] um zero de f(x) e x_{0}=1.3.
i) Verifique se estão satisfeitas as condições de convergência do método do ponto fixo no intervalo dado.
ii) Aplique o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação \bar{x} de \xi \in(1,1,5), \operatorname{com} \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0.0005.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-x-1 e pede duas coisas:
  • (a) Aplicar o método da Bissecção em [1,1{,}5] com tolerâncias \epsilon_{1}=0{,}05 e \epsilon_{2}=0{,}01.
  • (b) Com a função de iteração \varphi(x)=\sqrt[3]{x+1} e x_{0}=1{,}3:
    (i) verificar as condições de convergência do método do ponto fixo no intervalo [1,1{,}5];
    (ii) aplicar o método do ponto fixo para obter uma aproximação \bar{x} de \xi\in(1,1{,}5) com \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0{,}0005.
Informações relevantes dadas:
  • Intervalo inicial para bissecção: [1,1{,}5].
  • \epsilon_{1} e \epsilon_{2} para cada parte conforme acima.
  • Ponto inicial para iteração: x_{0}=1{,}3.
  • Função de iteração: \varphi(x)=\sqrt[3]{x+1}.

Passo 2

(Parte a) Explicando o método da bissecção e os critérios que vou usar.
  • Ideia do método: se f(a) e f(b) têm sinais opostos então existe uma raiz \xi\in[a,b]. O método constrói sucessivamente pontos médios c=(a+b)/2 e escolhe o subintervalo [a,c] ou [c,b] onde ocorre a mudança de sinal, reduzindo o tamanho do intervalo que contém a raiz.
  • Critérios de paragem que vou usar (com os dois \epsilon dados): paro quando forem satisfeitas simultaneamente
    1. o comprimento do intervalo \\ b-a \le \epsilon_{1}, e
    2. o valor absoluto do resto \\ |f\text{(c)}| \le \epsilon_{2}.
      Justificativa: o primeiro garante precisão na abscissa, o segundo garante que a função está próxima de zero no ponto médio.
  • Primeiro verifiquemos a existência de mudança de sinal no intervalo dado: f(1)=1^{3}-1-1=-1,\qquad f(1{,}5)=1{,}5^{3}-1{,}5-1=3{,}375-2{,}5=0{,}875.Como f(1)\cdot f(1{,}5)<0, existe ao menos uma raiz em [1,1{,}5]. Vamos aplicar a sequência de bissecções e calcular f nos pontos médios até que ambos os critérios sejam satisfeitos.

Passo 3

(Parte a) Iterações do método da bissecção — cálculo passo a passo.
Vou denotar em cada iteração o intervalo [a,b], o ponto médio c, o valor f\text{(c)} (aproximado decimal) e qual subintervalo contém a raiz.
  1. Iteração 1:
    a=1,\quad b=1{,}5,\quad c=\frac{1+1{,}5}{2}=1{,}25.
    Calculemos
    f(1{,}25)=1{,}25^{3}-1{,}25-1=1{,}953125-2{,}25=-0{,}296875.
    Sinal: f(1)= -1 e f(1{,}25)=-0{,}296875 (ambos negativos), então a mudança de sinal está em [1{,}25,\,1{,}5]. Novo intervalo: [1{,}25,\,1{,}5]. Comprimento atual b-a=0{,}25>0{,}05. |f\text{(c)}|=0{,}296875>0{,}01.
  2. Iteração 2:
    a=1{,}25,\quad b=1{,}5,\quad c=\frac{1{,}25+1{,}5}{2}=1{,}375.
f(1{,}375)=1{,}375^{3}-1{,}375-1=2{,}599609375-2{,}375=0{,}224609375.
Sinal: f(1{,}25)=-0{,}296875 e f(1{,}375)=0{,}224609375 (sinais opostos) ⇒ raiz em [1{,}25,\,1{,}375]. Comprimento =0{,}125>0{,}05. |f\text{(c)}|=0{,}2246>0{,}01.
  1. Iteração 3: a=1{,}25,\quad b=1{,}375,\quad c=\frac{1{,}25+1{,}375}{2}=1{,}3125.
f(1{,}3125)=1{,}3125^{3}-1{,}3125-1=2{,}2607421875-2{,}3125=-0{,}0517578125.
Sinal: f(1{,}3125)<0 e f(1{,}375)>0 ⇒ raiz em [1{,}3125,\,1{,}375]. Comprimento =0{,}0625>0{,}05. |f\text{(c)}|=0{,}051758>0{,}01.
  1. Iteração 4: a=1{,}3125,\quad b=1{,}375,\quad c=\frac{1{,}3125+1{,}375}{2}=1{,}34375.
f(1{,}34375)=1{,}34375^{3}-1{,}34375-1\approx2{,}42919921875-2{,}34375=0{,}08544921875.
Raiz em [1{,}3125,\,1{,}34375]. Comprimento =0{,}03125\le 0{,}05 (primeiro critério satisfeito), mas |f\text{(c)}|=0{,}08545>0{,}01 (segundo critério ainda não).
  1. Iteração 5: a=1{,}3125,\quad b=1{,}34375,\quad c=1{,}328125.
f(1{,}328125)=1{,}328125^{3}-1{,}328125-1\approx2{,}344085693359375-2{,}328125=0{,}015960693359375.
Raiz em [1{,}3125,\,1{,}328125] ou [1{,}328125,\,1{,}34375]? Aqui f(1{,}3125)=-0{,}0517578 e f(1{,}328125)=+0{,}0159607, então raiz está em [1{,}3125,\,1{,}328125]. Comprimento =0{,}015625\le0{,}05, mas |f\text{(c)}|=0{,}01596>0{,}01.
  1. Iteração 6:
    a=1{,}3125,\quad b=1{,}328125,\quad c=1{,}3203125.
    Calculei exatamente com frações ( 1{,}3203125=\tfrac{169}{128} ):
    1{,}3203125^{3}=\frac{4\,826\,809}{2\,097\,152}\approx2{,}30164337158203125,
    então
    f(1{,}3203125)\approx2{,}30164337158203125-1{,}3203125-1\approx-0{,}01866912841796875.
    Como f\text{(c)}<0 e f(1{,}328125)>0, raiz em [1{,}3203125,\,1{,}328125]. Comprimento =0{,}0078125\le0{,}05. |f\text{(c)}|\approx0{,}01867>0{,}01.
  2. Iteração 7:
    a=1{,}3203125,\quad b=1{,}328125,\quad c=\frac{1{,}3203125+1{,}328125}{2}=1{,}32421875.
    Computei 1{,}32421875=\tfrac{339}{256} e
    1{,}32421875^{3}=\frac{38\,958\,219}{16\,777\,216}\approx2{,}322390\ldots
    Assim
    f(1{,}32421875)\approx2{,}322390-1{,}32421875-1\approx-0{,}00182875.
    Agora:
    • comprimento do intervalo b-a=1{,}328125-1{,}3203125=0{,}0078125\le 0{,}05; primeiro critério satisfeito;
    • |f\text{(c)}|\approx0{,}00182875\le 0{,}01; segundo critério satisfeito.
Portanto, após 7 bissecções os dois critérios são atendidos.

Passo 4

(Conclusão da parte a) A aproximação obtida pelo método da bissecção com os critérios adotados é
c=1{,}32421875,
com b-a=0{,}0078125\le0{,}05 e |f\text{(c)}|\approx0{,}00183\le0{,}01. Essa é a aproximação que eu reporto para \xi usando os \epsilon dados.
Observação didática rápida sobre bissecção: a bissecção reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração; se se quer garantir erro na abscissa \le \epsilon basta n tal que (b-a)/2^{n}\le \epsilon. Aqui com (1{,}5-1)/2^{n}\le0{,}05 teria dado um limite para o número mínimo de iterações, mas também verificámos o residual |f\text{(c)}|.

Passo 5

(Parte b-i) Verificação das condições de convergência do método do ponto fixo para \varphi(x)=\sqrt[3]{x+1} em [1,1{,}5].
Precisamos de duas coisas para a convergência por contracção:
  1. \varphi deve enviar [1,1{,}5] em si mesmo (isto é, \varphi([1,1{,}5])\subset[1,1{,}5]).
  2. Existe k\in[0,1) tal que |\varphi'(x)|\le k para todo x\in[1,1{,}5] (então \varphi é contração).
Verificação 1 (imagem do intervalo):
\varphi(1)=\sqrt[3]{1+1}=\sqrt[3]{2}\approx1{,}2599\in[1,1{,}5],
\varphi(1{,}5)=\sqrt[3]{1{,}5+1}=\sqrt[3]{2{,}5}\approx1{,}3572\in[1,1{,}5].
Como \varphi é contínua e os extremos mapeiam para valores dentro do intervalo, \varphi([1,1{,}5])\subset[1,1{,}5].
Verificação 2 (derivada e constante de contracção):
Calcule a derivada:
\varphi'(x)=\frac{1}{3}(x+1)^{-2/3}.
No intervalo x\in[1,1{,}5] temos x+1\in[2,2{,}5], portanto o máximo de |\varphi'(x)| ocorre em x=1 (porque (x+1)^{-2/3} decresce com x). Assim
\max_{x\in[1,1{,}5]}|\varphi'(x)|=\varphi'(1)=\frac{1}{3}\,2^{-2/3}.
Numericamente,
2^{1/3}\approx1{,}2599\quad\Rightarrow\quad 2^{2/3}\approx1{,}5874,
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\varphi'(1)=\frac{1}{3\cdot 2^{2/3}}\approx\frac{1}{3\cdot 1{,}5874}\approx0{,}2097\eqcolon k.
Como k\approx0{,}2097<1, \varphi é uma contração em [1,1{,}5]. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe um único ponto fixo \xi em [1,1{,}5] e a iteração x_{n+1}=\varphi(x_{n}) converge para \xi para qualquer x_{0}\in[1,1{,}5]. Observação: o ponto fixo corresponde exatamente à raiz de f, porque \varphi(x)=x implica x^{3}-x-1=0.

Passo 6

(Parte b-ii) Aplicação prática do método do ponto fixo com x_{0}=1{,}3 e tolerâncias \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0{,}0005.
Critérios de paragem adotados (ambos simultaneamente): paro quando
  • |x_{n+1}-x_{n}|\le\epsilon_{1}, e
  • |f(x_{n+1})|\le\epsilon_{2}.
Fórmula de iteração:
x_{n+1}=\varphi(x_{n})=\sqrt[3]{x_{n}+1}.
Vamos calcular iterativamente (apresento valores aproximados com precisão suficiente para os critérios):
  • x_{0}=1{,}3.
  1. Iteração 1:
    x_{1}=\sqrt[3]{1{,}3+1}=\sqrt[3]{2{,}3}\approx1{,}32000612.
    Diferença |x_{1}-x_{0}|\approx0{,}02000612>0{,}0005.
    Calculemos o residual aproximadamente:
    f(x_{1})\approx x_{1}^{3}-x_{1}-1\approx 2{,}299968 -1{,}32000612 -1\approx -0{,}020038\quad(\text{aprox.}),
    logo |f(x_{1})|>0{,}0005. (Ainda não parámos.)
  2. Iteração 2:
    x_{2}=\sqrt[3]{x_{1}+1}=\sqrt[3]{2{,}32000612}\approx1{,}3238232\\ (\text{aprox.}).
    Diferença |x_{2}-x_{1}|\approx0{,}0038171>0{,}0005.
    Residual aproximado f(x_{2}) pode ser estimado \approx -0{,}0010 (ainda maior que 0{,}0005 em módulo).
  3. Iteração 3:
    x_{3}=\sqrt[3]{x_{2}+1}\approx\sqrt[3]{2{,}3238232}\approx1{,}3245480\\ (\text{aprox.}).
    Diferença |x_{3}-x_{2}|\approx0{,}0007248>0{,}0005.
    Residual f(x_{3}) aproximado \approx -0{,}00025 (ainda pode ser maior ou comparável a 0{,}0005 depende da aproximação, mas não temos ambos satisfeitos ainda).
  4. Iteração 4:
    x_{4}=\sqrt[3]{x_{3}+1}\approx\sqrt[3]{2{,}3245480}\approx1{,}3246856\\ (\text{aprox.}).
    Diferença |x_{4}-x_{3}|\approx0{,}0001376\le0{,}0005.
    Agora o residual:
    f(x_{4})=x_{4}^{3}-x_{4}-1.
    Podemos estimar f(x_{4}) pela expansão linear em torno da raiz \xi (a raiz exata \xi\approx1{,}324717957). Como x_{4} difere de \xi por cerca de -3{,}23\times10^{-5}, e f'(\xi)=3\xi^{2}-1\approx4{,}2646, então
    f(x_{4})\approx f'(\xi)\,(x_{4}-\xi)\approx 4{,}2646\cdot(-3{,}23\times10^{-5})\approx -1{,}38\times10^{-4},
    isto é |f(x_{4})|\approx0{,}000138\le 0{,}0005.
Ambos os critérios estão satisfeitos na iteração 4: |x_{4}-x_{3}|\le0{,}0005 e |f(x_{4})|\le0{,}0005. Portanto podemos tomar \bar{x}=x_{4}.
Observação prática sobre os cálculos de raiz cúbica: para calcular \sqrt[3]{y} manualmente com boa precisão usa-se Newton para a equação t^{3}-y=0 com iteração
t_{k+1}=\frac{2t_{k}+y/t_{k}^{2}}{3},
ou aproximações sucessivas; acima apresentei valores arredondados com precisão suficiente para testar os critérios.

Resposta

(a) 1{,}32421875
(b) \bar{x}\approx1{,}3246856 (obtido em 4 iterações, satisfa zendo \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0{,}0005)

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