Considere a função
.
(a) Aplique o método da Bissecção para encontrar uma aproximação de
, com
e
.
(b) Seja
uma função de iteração,
um zero de
e
.
i) Verifique se estão satisfeitas as condições de convergência do método do ponto fixo no intervalo dado.
ii) Aplique o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação
de
,
.
(a) Aplique o método da Bissecção para encontrar uma aproximação de
(b) Seja
i) Verifique se estão satisfeitas as condições de convergência do método do ponto fixo no intervalo dado.
ii) Aplique o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Aplicar o método da Bissecção em
com tolerâncias e . - (b) Com a função de iteração
e :
(i) verificar as condições de convergência do método do ponto fixo no intervalo;
(ii) aplicar o método do ponto fixo para obter uma aproximaçãode com .
Informações relevantes dadas:
- Intervalo inicial para bissecção:
. -
e para cada parte conforme acima. - Ponto inicial para iteração:
. - Função de iteração:
.
Passo 2
(Parte a) Explicando o método da bissecção e os critérios que vou usar.
- Ideia do método: se
e têm sinais opostos então existe uma raiz . O método constrói sucessivamente pontos médios e escolhe o subintervalo ou onde ocorre a mudança de sinal, reduzindo o tamanho do intervalo que contém a raiz. - Critérios de paragem que vou usar (com os dois
dados): paro quando forem satisfeitas simultaneamente - o comprimento do intervalo
, e - o valor absoluto do resto
.
Justificativa: o primeiro garante precisão na abscissa, o segundo garante que a função está próxima de zero no ponto médio.
- o comprimento do intervalo
- Primeiro verifiquemos a existência de mudança de sinal no intervalo dado:
Como , existe ao menos uma raiz em . Vamos aplicar a sequência de bissecções e calcular nos pontos médios até que ambos os critérios sejam satisfeitos.
Passo 3
(Parte a) Iterações do método da bissecção — cálculo passo a passo.
Vou denotar em cada iteração o intervalo
, o ponto médio
, o valor
(aproximado decimal) e qual subintervalo contém a raiz.
-
Iteração 1:CalculemosSinal:
e (ambos negativos), então a mudança de sinal está em . Novo intervalo: . Comprimento atual . . -
Iteração 2:
Sinal:
e
(sinais opostos) ⇒ raiz em
. Comprimento
.
.
- Iteração 3:
Sinal:
e
⇒ raiz em
. Comprimento
.
.
- Iteração 4:
Raiz em
. Comprimento
(primeiro critério satisfeito), mas
(segundo critério ainda não).
- Iteração 5:
Raiz em
ou
? Aqui
e
, então raiz está em
. Comprimento
, mas
.
-
Iteração 6:Calculei exatamente com frações (
): entãoComoe , raiz em . Comprimento . . -
Iteração 7:Computei
e AssimAgora:- comprimento do intervalo
; primeiro critério satisfeito; -
; segundo critério satisfeito.
- comprimento do intervalo
Portanto, após 7 bissecções os dois critérios são atendidos.
Passo 4
(Conclusão da parte a) A aproximação obtida pelo método da bissecção com os critérios adotados é
com
e
. Essa é a aproximação que eu reporto para
usando os
dados.
Observação didática rápida sobre bissecção: a bissecção reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração; se se quer garantir erro na abscissa
basta
tal que
. Aqui com
teria dado um limite para o número mínimo de iterações, mas também verificámos o residual
.
Passo 5
(Parte b-i) Verificação das condições de convergência do método do ponto fixo para
em
.
Precisamos de duas coisas para a convergência por contracção:
-
deve enviar em si mesmo (isto é, ). - Existe
tal que para todo (então é contração).
Verificação 1 (imagem do intervalo):
Como
é contínua e os extremos mapeiam para valores dentro do intervalo,
.
Verificação 2 (derivada e constante de contracção):
Calcule a derivada:
Calcule a derivada:
No intervalo
temos
, portanto o máximo de
ocorre em
(porque
decresce com
). Assim
Numericamente,
logo
Como
,
é uma contração em
. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe um único ponto fixo
em
e a iteração
converge para
para qualquer
. Observação: o ponto fixo corresponde exatamente à raiz de
, porque
implica
.
Passo 6
(Parte b-ii) Aplicação prática do método do ponto fixo com
e tolerâncias
.
Critérios de paragem adotados (ambos simultaneamente): paro quando
-
, e -
.
Fórmula de iteração:
Vamos calcular iterativamente (apresento valores aproximados com precisão suficiente para os critérios):
-
Iteração 1:Diferença
.
Calculemos o residual aproximadamente:logo. (Ainda não parámos.) -
Iteração 2:Diferença
.
Residual aproximadopode ser estimado (ainda maior que em módulo). -
Iteração 3:Diferença
.
Residualaproximado (ainda pode ser maior ou comparável a depende da aproximação, mas não temos ambos satisfeitos ainda). -
Iteração 4:Diferença
.
Agora o residual:Podemos estimarpela expansão linear em torno da raiz (a raiz exata ). Como difere de por cerca de , e , então isto é.
Ambos os critérios estão satisfeitos na iteração 4:
e
. Portanto podemos tomar
.
Observação prática sobre os cálculos de raiz cúbica: para calcular
manualmente com boa precisão usa-se Newton para a equação
com iteração
ou aproximações sucessivas; acima apresentei valores arredondados com precisão suficiente para testar os critérios.
Resposta
(a)
(b) (obtido em 4 iterações, satisfa zendo
)
(b)