4{ }^{\text {a }} Questão: ( \mathbf{2 0} pontos) Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}=-6 \\\ x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}=6 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \end{array}\right.
Encontre a solução do sistema usando eliminação gaussiana.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas e pede a solução usando eliminação gaussiana. As equações são:
\left\{\begin{array}{l} 2x_{1}-x_{2}+x_{3}=-6,\\[4pt] x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=6,\\[4pt] 3x_{1}+x_{2}+x_{3}=0. \end{array}\right.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • São três incógnitas: x_{1}, x_{2} e x_{3}.
  • Temos três equações lineares que devem determinar a solução única do sistema (se for consistente e independente).
    O objetivo é aplicar eliminação gaussiana (usar operações elementares sobre linhas da matriz aumentada) para encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3}.]

Passo 2

Vou escrever o sistema na forma de matriz aumentada para visualizar as operações de linha:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & -6\\[4pt] 1 & 3 & -2 & 6\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
Lembrete rápido sobre operações elementares (o que posso fazer):
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por uma constante não nula;
  • substituir uma linha pela soma dela com um múltiplo de outra linha.
    Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.]

Passo 3

É conveniente ter um pivô 1 na primeira linha para eliminar abaixo sem muitas frações. Vou trocar a primeira e a segunda linha (troca de linhas é operação elementar válida). Após R_{1}\leftrightarrow R_{2}:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 6\\[4pt] 2 & -1 & 1 & -6\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora elimino as entradas abaixo do pivô da coluna 1 (ou seja, anular os elementos nas posições (2,1) e (3,1)).
Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}:
Cálculo linha 2: [2,-1,1,-6] - 2\cdot[1,3,-2,6] = [0,-7,5,-18].
Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}:
Cálculo linha 3: [3,1,1,0] - 3\cdot[1,3,-2,6] = [0,-8,7,-18].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 6\\[4pt] 0 & -7 & 5 & -18\\[4pt] 0 & -8 & 7 & -18 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora precisamos eliminar a entrada abaixo do pivô da segunda coluna (anular o elemento na posição (3,2)). As duas linhas relevantes são:
R_{2}=[0,\,-7,\,5,\,-18],\qquad R_{3}=[0,\,-8,\,7,\,-18].
Para evitar frações, uso uma combinação inteira: calculo 8R_{2}-7R_{3}. Isso é uma operação válida porque é equivalente a aplicar operações elementares (multiplicar linhas por escalares e somar) e produz uma nova linha proporcional à eliminação desejada. Fazendo as contas:
8R_{2} = [0,-56,40,-144],\qquad 7R_{3}=[0,-56,49,-126],
8R_{2}-7R_{3} = [0,0,-9,-18].
Substituo R_{3} por essa combinação (ou seja, R_{3}\leftarrow 8R_{2}-7R_{3}). A matriz triangularizada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 6\\[4pt] 0 & -7 & 5 & -18\\[4pt] 0 & 0 & -9 & -18 \end{array}\right]]

Passo 6

A última linha agora fornece diretamente uma equação em x_{3}. Da linha 3:
-9x_{3}=-18.
Isolando x_{3}, dividimos ambos os lados por -9:
x_{3}=\frac{-18}{-9}=2.

Passo 7

Com x_{3}=2, uso a segunda linha para achar x_{2}. A segunda linha é:
-7x_{2}+5x_{3}=-18.
Substituindo x_{3}=2:
-7x_{2}+5\cdot 2=-18.
Calculo passo a passo:
-7x_{2}+10=-18 \quad\Rightarrow\quad -7x_{2}=-18-10=-28.
Dividindo por -7:
x_{2}=\frac{-28}{-7}=4.

Passo 8

Finalmente, uso a primeira linha para achar x_{1}. A primeira linha é:
x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=6.
Substituo x_{2}=4 e x_{3}=2:
x_{1}+3\cdot 4-2\cdot 2=6.
Calculo:
x_{1}+12-4=6 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+8=6 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=6-8=-2.

Resposta

x_{1}=-2 \
x_{2}=4 \
x_{3}=2

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