{ }^{\text {a }} Questão - Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem:
y^{\prime}-\frac{2 \cdot y}{x}=e^{x} \cdot x^{2}
Submetida à condição inicial y(1)=2 e determine uma aproximação para y(1,5) através de um método de Runge Kutta de terceira ordem, com passo \mathrm{h}=0,25.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
y' - \frac{2\,y}{x} = e^{x}\,x^{2}
com condição inicial y(1)=2, e pede uma aproximação de y(1{,}5) usando o método de Runge–Kutta explícito de terceira ordem com passo h=0{,}25.
O método que vamos usar é definido por:
\begin{aligned} k_{1}&=f(x_{n},y_{n}),\\\ k_{2}&=f\bigl(x_{n} + \tfrac{h}{2},\,y_{n} + \tfrac{h}{2}\,k_{1}\bigr),\\\ k_{3}&=f\bigl(x_{n} + h,\,y_{n} - h\,k_{1} + 2h\,k_{2}\bigr),\\\ y_{n+1}&=y_{n} + \frac{h}{6}\,\bigl(k_{1} + 4\,k_{2} + k_{3}\bigr). \end{aligned}

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma padrão y'=f(x,y). Da equação dada:
y' = \frac{2\,y}{x} + e^{x}\,x^{2}.
Logo, definimos
f(x,y) = \frac{2\,y}{x} + e^{x}\,x^{2}.

Passo 3

Primeira iteração x_{0}=1, y_{0}=2:
\begin{aligned} k_{1}&=f(1,2)=\frac{2\cdot2}{1} + e^{1}\cdot1^{2}=4 + e\approx6{,}71828,\\\ k_{2}&=f\bigl(1{,}125,\;2 + 0{,}125\cdot6{,}71828\bigr) =f(1{,}125,\,2{,}839785)\\\ &=\frac{2\cdot2{,}839785}{1{,}125} + e^{1{,}125}\cdot(1{,}125)^{2} \approx5{,}04696 + 3{,}89777 = 8{,}94473,\\\ k_{3}&=f\bigl(1{,}25,\;2 + 0{,}25\,(-6{,}71828 + 2\cdot8{,}94473)\bigr) =f(1{,}25,\,4{,}792795)\\\ &=\frac{2\cdot4{,}792795}{1{,}25} + e^{1{,}25}\cdot(1{,}25)^{2} \approx7{,}66847 + 5{,}45273 = 13{,}12120,\\\ y_{1}&=2 + \frac{0{,}25}{6}\bigl(6{,}71828 + 4\cdot8{,}94473 + 13{,}12120\bigr) \approx4{,}31743. \end{aligned}

Passo 4

Segunda iteração x_{1}=1{,}25, y_{1}=4{,}31743:
\begin{aligned} k_{1}&=f(1{,}25,4{,}31743) =\frac{2\cdot4{,}31743}{1{,}25} + e^{1{,}25}\cdot1{,}25^{2} \approx6{,}90789 + 5{,}45273 = 12{,}36062,\\\ k_{2}&=f\bigl(1{,}375,\;4{,}31743 + 0{,}125\cdot12{,}36062\bigr) =f(1{,}375,\,5{,}86249)\\\ &=\frac{2\cdot5{,}86249}{1{,}375} + e^{1{,}375}\cdot1{,}375^{2} \approx8{,}52807 + 7{,}48066 = 16{,}00873,\\\ k_{3}&=f\bigl(1{,}5,\;4{,}31743 + 0{,}25\,(-12{,}36062 + 2\cdot16{,}00873)\bigr) =f(1{,}5,\,9{,}23160)\\\ &=\frac{2\cdot9{,}23160}{1{,}5} + e^{1{,}5}\cdot1{,}5^{2} \approx12{,}30880 + 10{,}08330 = 22{,}39210,\\\ y_{2}&=4{,}31743 + \frac{0{,}25}{6}\bigl(12{,}36062 + 4\cdot16{,}00873 + 22{,}39210\bigr) \approx8{,}43361. \end{aligned}

Resposta

A aproximação de y(1{,}5) pelo método de Runge–Kutta de terceira ordem com h=0{,}25 é aproximadamente
y(1{,}5)\approx8{,}4336.

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