1. No quadrilátero A B C D, A B=B C, \angle D A C=50^{\circ} e \angle B D C=40^{\circ}. Determine a medida do ângulo \angle D B C.
    a) 80^{\circ}
    b) 90^{\circ}
    c) 100^{\circ}
    d) 110^{\circ}
    e) 120^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero ABCD convexo com AB=BC, \angle DAC=50^\circ (ângulo no vértice A entre DA e AC) e \angle BDC=40^\circ (ângulo no vértice D entre BD e DC). Queremos \angle DBC (ângulo no vértice B entre DB e BC). O conteúdo aqui envolve usar ângulos nos triângulos formados pelas diagonais AC e BD, mais a lei dos senos e relações de soma de ângulos.

Passo 2

No triângulo ABC, como AB=BC, ele é isósceles com base AC. Denotemos
\alpha=\angle CAB=\angle BCA.
Logo
\angle ABC=180^\circ-2\alpha.

Passo 3

No triângulo BCD queremos \theta=\angle DBC. Como a soma das três internas vale 180^\circ, temos
\angle BDC + \angle DCB + \angle DBC =180^\circ \quad\Longrightarrow\quad 40^\circ + \angle DCB + \theta =180^\circ,
isto é
\angle DCB=140^\circ-\theta.

Passo 4

Ainda em ABC e em ADC, em torno do ponto C as duas “metades” do ângulo interno do quadrilátero se somam:
\underbrace{\angle BCA}_{=\alpha}+\underbrace{\angle DCA}_{\text{no triângulo }ADC} =\underbrace{\angle DCB}_{=140^\circ-\theta}.â
No triângulo ADC somam-se os ângulos:
\angle DAC + \angle DCA + \angle ADC=180^\circ \;\Longrightarrow\; 50^\circ + \angle DCA + \angle ADC=180^\circ \;\Longrightarrow\; \angle DCA=130^\circ-\angle ADC.
Substituindo em \alpha+\angle DCA=140^\circ-\theta
\alpha + (130^\circ-\angle ADC)=140^\circ-\theta \quad\Longrightarrow\quad \angle ADC=\alpha+\theta-10^\circ.

Passo 5

Agora aplicamos a lei dos senos em BCD e em ADC, tomando AC=1 como referência:
  1. No triângulo BCD:
\frac{DC}{\sin\theta} =\frac{BC}{\sin 40^\circ} \quad\Longrightarrow\quad DC =BC\;\frac{\sin\theta}{\sin40^\circ}.
Mas em ABC, pela lei dos senos,
\frac{BC}{\sin\alpha} =\frac{AC}{\sin(180^\circ-2\alpha)}=\frac1{\sin2\alpha} \quad\Longrightarrow\quad BC=\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha} =\frac{1}{2\cos\alpha}.
Logo
DC=\frac{1}{2\cos\alpha}\,\frac{\sin\theta}{\sin40^\circ}.
  1. No triângulo ADC:
\frac{DC}{\sin50^\circ} =\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} =\frac{1}{\sin(\alpha+\theta-10^\circ)} \quad\Longrightarrow\quad DC =\frac{\sin50^\circ}{\sin(\alpha+\theta-10^\circ)}.
Igualando as duas expressões para DC obtém-se
\frac{\sin50^\circ}{\sin(\alpha+\theta-10^\circ)} =\frac{1}{2\cos\alpha}\,\frac{\sin\theta}{\sin40^\circ}.

Passo 6

Testando os valores de \theta das alternativas, verifica–se que \theta=80^\circ faz a equação se reduzir a
\sin(\alpha+80^\circ-10^\circ)=\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad \alpha=10^\circ,
e tudo se encaixa numa configuração convexa consistente.

Resposta

a) 80^\circ

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