{ }^{\text {a }} Questão - Considere a equação diferencial ordinária de segunda ordem:
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+12 y=x
Submetida às seguintes condições iniciais: y(0)=1 ; y^{\prime}(0)=1
E obtenha uma aproximação para o valor de y(0,5) através do método de Runge Kutta de quarta ordem empregando um passo \mathrm{h}=0,5.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' - 7y' + 12y = x
com condições iniciais y(0)=1, y'(0)=1, e pede y(0,5) aproximado pelo método de Runge–Kutta de 4ª ordem com passo h=0,5. Vamos precisar converter em sistema de 1ª ordem e aplicar a fórmula do RK4.

Passo 2

Definimos
y_1 = y,\quad y_2 = y'
então
y_1' = y_2,\quad y_2' = 7y_2 - 12y_1 + x.
Chamamos
f_1(x,y_1,y_2) = y_2, \quad f_2(x,y_1,y_2) = 7y_2 - 12y_1 + x.
As condições iniciais viram y_1(0)=1, y_2(0)=1.

Passo 3

No método de Runge–Kutta de 4ª ordem, de x_0=0 a x_1=0,5, com h=0,5, calculamos para cada componente os incrementos
k_{i1} = h\,f_1(x_0 + c_i h,\;y_1(0) + a_{i1},\;y_2(0) + a_{i2}), \quad k_{i2} = h\,f_2(x_0 + c_i h,\;y_1(0) + a_{i1},\;y_2(0) + a_{i2}),
seguindo os coeficientes padrão de RK4. Ao final,
y_1(0,5) \approx y_1(0) + \frac{k_{11} + 2k_{21} + 2k_{31} + k_{41}}{6}.

Passo 4

Calculamos k_1 em x=0, y_1=1, y_2=1:
k_{11} = h\,f_1(0,1,1) = 0,5\cdot(1) = 0,5,
k_{12} = h\,f_2(0,1,1) = 0,5\bigl(7\cdot1 -12\cdot1 + 0\bigr) = 0,5\cdot(-5) = -2,5.

Passo 5

Para k_2, avalia-se em x=0,25, y_1=1 + k_{11}/2 =1,25, y_2=1 + k_{12}/2 = -0,25:
k_{21} = 0,5\cdot(-0,25) = -0,125,
k_{22} = 0,5\bigl(7\cdot(-0,25) -12\cdot1,25 +0,25\bigr) = 0,5\cdot(-16,5) = -8,25.

Passo 6

Para k_3, avalia-se em x=0,25, y_1=1 + k_{21}/2 =0,9375, y_2=1 + k_{22}/2 = -3,125:
k_{31} = 0,5\cdot(-3,125) = -1,5625,
k_{32} = 0,5\bigl(7\cdot(-3,125) -12\cdot0,9375 +0,25\bigr) = 0,5\cdot(-32,875) = -16,4375.

Passo 7

Para k_4, avalia-se em x=0,5, y_1=1 + k_{31} = -0,5625, y_2=1 + k_{32} = -15,4375:
k_{41} = 0,5\cdot(-15,4375) = -7,71875,
k_{42} = 0,5\bigl(7\cdot(-15,4375) -12\cdot(-0,5625) +0,5\bigr) = 0,5\cdot(-100,8125) = -50,40625.

Passo 8

Agora combinamos para obter y_1(0,5):
y_1(0,5) \approx 1 + \frac{0,5 + 2(-0,125) + 2(-1,5625) + (-7,71875)}{6} = 1 + \frac{-10,59375}{6} = 1 - 1,765625 = -0,765625.

Resposta

y(0,5)\approx -0,765625

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