1. No quadrilátero convexo A B C D, \angle A B D=40^{\circ}, \angle C B D=70^{\circ} e \angle A D B=\angle C D B=60^{\circ}. Entāo, a medida do ângulo \angle D A C é igual a:
    a) 30^{\circ}
    b) 40^{\circ}
    c) 50^{\circ}
    d) 60^{\circ}
    e) 70^{\circ}

Passo 1

O enunciado diz que no quadrilátero convexo A B C D valem
\angle A B D=40^\circ, \angle C B D=70^\circ e \angle A D B=\angle C D B=60^\circ.
Queremos \angle D A C. O conteúdo será trigonometria em triângulos — lei dos senos e lei dos cossenos.

Passo 2

Calcular os ângulos faltantes em \triangle A B D e \triangle B C D.
Em \triangle A B D:
\angle A D B=60^\circ,\quad \angle A B D=40^\circ
\Rightarrow\quad \angle D A B=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ.
Em \triangle B C D:
\angle C D B=60^\circ,\quad \angle C B D=70^\circ
\Rightarrow\quad \angle B C D=180^\circ-60^\circ-70^\circ=50^\circ.

Passo 3

Aplicar lei dos senos em cada triângulo, tomando B D=1 como escala:
Em \triangle A B D:
\frac{A D}{\sin(40^\circ)}=\frac{B D}{\sin(80^\circ)} \quad\Rightarrow\quad A D=\frac{\sin(40^\circ)}{\sin(80^\circ)}.
Em \triangle B C D:
\frac{C D}{\sin(70^\circ)}=\frac{B D}{\sin(50^\circ)} \quad\Rightarrow\quad C D=\frac{\sin(70^\circ)}{\sin(50^\circ)}.

Passo 4

No vértice D do quadrilátero, a diagonal B D separa o ângulo interno \angle A D C em
\angle A D C=\angle A D B+\angle B D C=60^\circ+60^\circ=120^\circ.

Passo 5

No \triangle A D C, aplicar a lei dos cossenos para achar A C:
A C^2 = A D^2 + C D^2 - 2\,A D\,C D\cos(120^\circ) = A D^2 + C D^2 + A D\,C D.

Passo 6

Ainda em \triangle A D C, usar a lei dos senos para \angle D A C:
\frac{\sin(\angle D A C)}{C D} =\frac{\sin(120^\circ)}{A C} \quad\Rightarrow\quad \sin(\angle D A C) =\frac{C D\sin(120^\circ)}{A C} \approx0{,}6432
Isso dá \angle D A C\approx40^\circ.

Resposta

b) 40^\circ

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