Se a função de iteração do MPF for tal que as condições do Teorema 2 estão satisfeitas:
a) mostre que \left|\xi-x_{k}\right| \leqslant \frac{M}{1-M}\left|x_{k}-x_{k-1}\right|;
b) para que valores de M teremos então que
\left|\xi-x_{k}\right|<\varepsilon \operatorname{se}\left|x_{k}-x_{k-1}\right|<\varepsilon ?

Passo 1

O enunciado diz que a função de iteração do MPF satisfaz as condições do Teorema 2. O que foi dado explicitamente e o que é pedido:
  • Dado: existe um ponto fixo \xi tal que \xi=g(\xi) e a função g é contrativa no vizinhança considerada, isto é existe uma constante M com 0\le M<1 tal que
|g(x)-g(y)|\le M|x-y|\quad\text{para todos }x,y\\ \text{no domínio}.í
  • Dado também que a sequência de iterações é \{x_k\} com x_k=g(x_{k-1}).
  • Pedido (a): demonstrar a desigualdade
\left|\xi-x_{k}\right| \leqslant \frac{M}{1-M}\left|x_{k}-x_{k-1}\right|.
  • Pedido (b): determinar para quais valores de M a implicação
\left|x_{k}-x_{k-1}\right|<\varepsilon \quad\Rightarrow\quad \left|\xi-x_{k}\right|<\varepsilon
é garantida.

Passo 2

Entendendo as propriedades que vamos usar (mini-aula): a definição de contratividade e o que é ponto fixo.
  • Definição de ponto fixo: \xi é ponto fixo de g se \xi=g(\xi). Aqui \xi é o limite da sequência de iterações.
  • Definição de contratividade: existe M com 0\le M<1 tal que, para quaisquer x,y,
|g(x)-g(y)|\le M|x-y|.
Isto diz que g aproxima pontos: a distância entre imagens é no máximo M vezes a distância original. Esse fato será usado aplicando g a x_{k-1} e a \xi.

Passo 3

Aplicação direta da contratividade ao par (\xi,x_{k-1}):
  • Usamos que \xi=g(\xi) e x_k=g(x_{k-1}). Então
\left|\xi-x_k\right| = \left|g(\xi)-g(x_{k-1})\right|.
  • Pela contratividade, isso implica
\left|\xi-x_k\right| \le M\left|\xi-x_{k-1}\right|.
Esta é uma desigualdade imediata e importante: o erro no passo k é no máximo M vezes o erro no passo k-1.

Passo 4

Relacionar \left|\xi-x_{k-1}\right| com \left|\xi-x_k\right| e \left|x_k-x_{k-1}\right| usando a desigualdade triangular (mini-aula sobre desigualdade triangular):
  • A desigualdade triangular diz que, para quaisquer pontos a,b,c,
|a-c|\le |a-b|+|b-c|.
  • Escolhendo a=\xi, b=x_k, c=x_{k-1} obtemos
\left|\xi-x_{k-1}\right|\le \left|\xi-x_k\right|+\left|x_k-x_{k-1}\right|.

Passo 5

Combinar as desigualdades dos passos 3 e 4 para isolar \left|\xi-x_k\right|:
  • Da Passo 3: \left|\xi-x_k\right|\le M\left|\xi-x_{k-1}\right|.
  • Substituindo a estimativa da Passo 4 para \left|\xi-x_{k-1}\right| temos
\left|\xi-x_k\right| \le M\big(\left|\xi-x_k\right|+\left|x_k-x_{k-1}\right|\big).
  • Desenvolvendo:
\left|\xi-x_k\right| \le M\left|\xi-x_k\right| + M\left|x_k-x_{k-1}\right|.
  • Agora isolamos o termo \left|\xi-x_k\right|. Subtraindo M\left|\xi-x_k\right| de ambos os lados:
\left(1-M\right)\left|\xi-x_k\right| \le M\left|x_k-x_{k-1}\right|.
  • Finalmente, dividindo por 1-M>0 (porque M<1):
\left|\xi-x_k\right| \le \frac{M}{1-M}\left|x_k-x_{k-1}\right|.
Isto prova a parte (a).

Passo 6

Interpretação prática (como usar isto na prova):
  • A desigualdade obtida dá um vínculo entre o erro atual \left|\xi-x_k\right| e a diferença entre duas últimas iterações \left|x_k-x_{k-1}\right|. Na prática, em uma iteração numérica, se \left|x_k-x_{k-1}\right| é pequeno, então \left|\xi-x_k\right| também será pequeno, multiplicado pelo fator \frac{M}{1-M}.
  • Para lembrar: quanto menor M (mais contratante é g), menor é esse fator \frac{M}{1-M}.

Passo 7

Resolver a parte (b): para quais M vale que \left|x_k-x_{k-1}\right|<\varepsilon implica \left|\xi-x_k\right|<\varepsilon.
  • A partir da desigualdade da parte (a) queremos garantir
\frac{M}{1-M}\left|x_k-x_{k-1}\right|<\varepsilon
sempre que \left|x_k-x_{k-1}\right|<\varepsilon. Uma condição suficiente e necessária em termos do fator é exigir
\frac{M}{1-M}<1,
porque então com \left|x_k-x_{k-1}\right|<\varepsilon teremos \left|\xi-x_k\right|\le \frac{M}{1-M}\left|x_k-x_{k-1}\right|<1\cdot\varepsilon=\varepsilon.
  • Resolver \frac{M}{1-M}<1:
\frac{M}{1-M}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad M<1-M \quad\Longleftrightarrow\quad 2M<1 \quad\Longleftrightarrow\quad M<\tfrac{1}{2}.
  • Observação sobre M=\tfrac{1}{2}: se M=\tfrac{1}{2} então \frac{M}{1-M}=1 e a desigualdade da parte (a) dá \left|\xi-x_k\right|\le \left|x_k-x_{k-1}\right|. Assim \left|x_k-x_{k-1}\right|<\varepsilon implica \left|\xi-x_k\right|\le \left|x_k-x_{k-1}\right|<\varepsilon — na prática dá também < \varepsilon porque o \le combina com < no outro termo; contudo, em termos do fator estrito, para garantir estritamente pela comparação de fatores pedimos M<\tfrac{1}{2}.
  • Conclusão: para garantir de forma direta e uniforme que \left|\xi-x_k\right|<\varepsilon sempre que \left|x_k-x_{k-1}\right|<\varepsilon precisamos de M<\tfrac{1}{2}. (Se quiser incluir o caso limite com atenção, M=\tfrac{1}{2} \left|\xi-x_k\right|\le\left|x_k-x_{k-1}\right|, o que também assegura o resultado quando \left|x_k-x_{k-1}\right|<\varepsilon.)

Resposta

\displaystyle \left|\xi-x_{k}\right| \leqslant \frac{M}{1-M}\left|x_{k}-x_{k-1}\right|\n
M<\tfrac{1}{2} (ou, com atenção ao caso limite, M\le\tfrac{1}{2} garante \left|\xi-x_k\right|\le\varepsilon quando \left|x_k-x_{k-1}\right|<\varepsilon).

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