Se a função de iteração do MPF for tal que as condições do Teorema 2 estão satisfeitas:
a) mostre que
;
b) para que valores de M teremos então que
a) mostre que
b) para que valores de M teremos então que
Passo 1
O enunciado diz que a função de iteração do MPF satisfaz as condições do Teorema 2. O que foi dado explicitamente e o que é pedido:
- Dado: existe um ponto fixo
tal que e a função é contrativa no vizinhança considerada, isto é existe uma constante com tal que
- Dado também que a sequência de iterações é
com . - Pedido (a): demonstrar a desigualdade
- Pedido (b): determinar para quais valores de
a implicação
é garantida.
Passo 2
Entendendo as propriedades que vamos usar (mini-aula): a definição de contratividade e o que é ponto fixo.
- Definição de ponto fixo:
é ponto fixo de se . Aqui é o limite da sequência de iterações. - Definição de contratividade: existe
com tal que, para quaisquer ,
Isto diz que
aproxima pontos: a distância entre imagens é no máximo
vezes a distância original. Esse fato será usado aplicando
a
e a
.
Passo 3
Aplicação direta da contratividade ao par
:
- Usamos que
e . Então
- Pela contratividade, isso implica
Esta é uma desigualdade imediata e importante: o erro no passo
é no máximo
vezes o erro no passo
.
Passo 4
Relacionar
com
e
usando a desigualdade triangular (mini-aula sobre desigualdade triangular):
- A desigualdade triangular diz que, para quaisquer pontos
,
- Escolhendo
, , obtemos
Passo 5
Combinar as desigualdades dos passos 3 e 4 para isolar
:
- Da Passo 3:
. - Substituindo a estimativa da Passo 4 para
temos
- Desenvolvendo:
- Agora isolamos o termo
. Subtraindo de ambos os lados:
- Finalmente, dividindo por
(porque ):
Isto prova a parte (a).
Passo 6
Interpretação prática (como usar isto na prova):
- A desigualdade obtida dá um vínculo entre o erro atual
e a diferença entre duas últimas iterações . Na prática, em uma iteração numérica, se é pequeno, então também será pequeno, multiplicado pelo fator . - Para lembrar: quanto menor
(mais contratante é ), menor é esse fator .
Passo 7
Resolver a parte (b): para quais
vale que
implica
.
- A partir da desigualdade da parte (a) queremos garantir
sempre que
. Uma condição suficiente e necessária em termos do fator é exigir
porque então com
teremos
.
- Resolver
:
- Observação sobre
: se então e a desigualdade da parte (a) dá . Assim implica — na prática dá também < porque o combina com < no outro termo; contudo, em termos do fator estrito, para garantir estritamente pela comparação de fatores pedimos . - Conclusão: para garantir de forma direta e uniforme que
sempre que precisamos de . (Se quiser incluir o caso limite com atenção, dá , o que também assegura o resultado quando .)