Para todo
, prove os seguintes itens por indução matemática:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar, por indução matemática, que para todo
vale
O conteúdo aqui é Indução Matemática. A gente vai precisar:
- Fazer o caso base (
); - Formular a hipótese de indução (supondo que funciona para
); - Provar que, se funciona para
, também funciona para .
Passo 2
Caso base (
).
LHS: .
RHS:
Então bate certinho: . O caso base está ok!
LHS:
RHS:
Então bate certinho:
Passo 3
Hipótese de indução.
Suponha que para algum valha
Suponha que para algum
Isso é nossa hipótese: assumimos que a fórmula funciona para
.
Passo 4
Passo de indução.
Precisamos mostrar que, sob essa hipótese, vale também para :
Precisamos mostrar que, sob essa hipótese, vale também para
Usamos a hipótese no trecho até
:
LHS até
= .
Agora é só simplificar:
LHS até
=
Agora é só simplificar:
- Escreve
. - Então
E note que
. Logo
que é exatamente o que queríamos provar para
.
Resposta
Por indução, mostramos que
vale para todo
.