Para todo n >= 1, prove os seguintes itens por indução matemática:
12+22^2+32^3+cdots+n2^n=2-n+22^n.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar, por indução matemática, que para todo 12+22^2+32^3+cdots+n2^n =2-n+22^n vale
O conteúdo aqui é Indução Matemática. A gente vai precisar:
  1. Fazer o caso base ( );
  2. Formular a hipótese de indução (supondo que funciona para );
  3. Provar que, se funciona para , também funciona para .

Passo 2

Caso base ( ).
LHS: .
RHS:
Então bate certinho: . O caso base está ok!

Passo 3

Hipótese de indução.
Suponha que para algum 12+22^2+cdots+n2^n =2-n+22^n valha
Isso é nossa hipótese: assumimos que a fórmula funciona para .

Passo 4

Passo de indução.
Precisamos mostrar que, sob essa hipótese, vale também para 12+22^2+cdots+n2^n +n+12^,n+1 stackrel?=2-(n+1)+22^,n+1 :
2-n+22^n+n+12^n+1 =2-l(2(n+2)2^n+1-n+12^n+1r) =2-2n+4-(n+1)2^n+1 =2-n+32^n+1
Usamos a hipótese no trecho até 2-n+32^n+1 =2-(n+1)+22^n+1, :
LHS até
= .
Agora é só simplificar:
  1. Escreve .
  2. Então
E note que . Logo
que é exatamente o que queríamos provar para .

Resposta

Por indução, mostramos que
12+22^2+cdots+n2^n =2-n+22^n
vale para todo .

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