Tomando como modelo os Exemplos apresentados em sala de aula sobre o Método da Iteração Linear - MIL, encontrar a raiz r das equações abaixo relacionadas e pertencentes aos intervalos e precisão (erro) também fixados:
Exercício 01:
1.1) Equação Rightarrow x^2+9,525 x+17,675=0;
1.2) intervalo da raiz Rightarrow[-7 / 2,-3 / 2]
1.3) precisão/erro Rightarrow varepsilon <= 10^-4.

Passo 1

O enunciado pede para achar a raiz r da função
f(x) = x^2 + 9,525,x + 17,675 = 0
no intervalo [-7/2,-3/2] usando o Método da Iteração Linear (MIL) com precisão varepsilon <= 10^-4. Para isso, precisamos reescrever a equação na forma x = g(x), verificar que g é uma contração em [-3,5,-1,5] e então iterar até que |xn+1-xn|<10^-4.

Passo 2

Escolhemos
g(x) = -,x^2 + 17,6759,525,,
pois de f(x)=0 segue x = -x^2+17,6759,525. Agora verificamos que g mapeia [-3,5,-1,5] em si mesmo:
g(-3,5) = -(-3,5)^2 +17,6759,525 = -12,25 +17,6759,525 approx -3,142 in [-3,5,-1,5],
g(-1,5) = -(-1,5)^2 +17,6759,525 = -2,25 +17,6759,525 approx -2,092 in [-3,5,-1,5]

Passo 3

Calculamos
g'(x) = -2x9,525 Longrightarrow lvert g'(x)rvert = 2lvert xrvert9,525
No intervalo [-3,5,-1,5] temos
maxxin[-3,5,-1,5]lvert g'(x)rvert = 2cdot 3,59,525 approx 0,735 < 1
Logo g é uma aplicação de contração em [-3,5,-1,5] e garante convergência.

Passo 4

Como g é contração, a iteração
xn+1 = g(xn)
converge para a raiz. Adotamos x0 = -2,5 (ponto médio do intervalo) e paramos quando
lvert xn+1 - xnrvert < 10^-4

Passo 5

Calculamos sucessivas iterações:
x0 &= -2,50000, x1 &= g(x0)approx -2,51235, x2 approx -2,51786, x3 approx -2,52078, x4 &approx -2,52251, x5 approx -2,52336, x6 approx -2,52378, x7 &approx -2,52400, x8 approx -2,52417, x9 approx -2,52427, x10 &approx -2,52435,
e verificamos
lvert x10-x9rvert approx 8times 10^-5 < 10^-4

Resposta

rapprox -2,5244

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