Tomando como modelo os Exemplos apresentados em sala de aula sobre o Método da Iteração Linear - MIL, encontrar a raiz r das equações abaixo relacionadas e pertencentes aos intervalos e precisão (erro) também fixados:
Exercício 04:
4.1) Equação Rightarrow x+ln x-4=0;
4.2) Com auxílio de um esboço gráfico encontreum valor aproximado x0 de sua raiz r. Tomando o valor x0 encontrado como aproximação inicial, determine o valor dessa raiz pelo Método da IteraçaoLinear.
4.3) precisão/erro Rightarrow varepsilon <= 10^-3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x + ln x - 4 = 0
usando o Método da Iteração Linear (MIL), encontrando uma aproximação da raiz r com erro máximo varepsilon <= 10^-3. Para isso vamos: (i) obter um chute inicial x0 via esboço de gráfico da função f(x)=x+ln x-4; (ii) escolher uma função de iteração g(x) tal que x = g(x); (iii) iterar até satisfazer o critério de erro.

Passo 2

Para achar x0 fazemos um esboço rápido de
f(x)=x+ln x-4
Note que
f(2)=2+ln2-4approx2+0,693-4=-1,307<0,
f(3)=3+ln3-4approx3+1,099-4=0,099>0
Como o sinal troca de 2 para 3, a raiz está em (2,3). Como f(3) já é bem próximo de zero, escolhemos
x0 = 3

Passo 3

Reescrevemos f(x)=0 na forma x=g(x). Uma escolha natural é
x = 4 - ln x,
logo definimos
g(x)=4-ln x Longrightarrow xn+1=4-ln(xn)
Para garantir convergência, verificamos
g'(x) = -1x,
e em [2,4] temos l|g'(x)r|<=12<1. Assim g é uma contração e o método converge.

Passo 4

Aplicamos a iteração até lvert xn+1-xnrvert<=10^-3:
x0&=3, x1&=4-ln(3)=2,9013877,|x1-x0|=0,0986123, x2&=4-ln(2,9013877)=2,9348113,|x2-x1|=0,0334236, x3&=4-ln(2,9348113)=2,9228383,|x3-x2|=0,0119730, x4&=4-ln(2,9228383)=2,9274970,|x4-x3|=0,0046587, x5&=4-ln(2,9274970)=2,9259030,|x5-x4|=0,0015940, x6&=4-ln(2,9259030)=2,9264491,|x6-x5|=0,0005461<10^-3

Resposta

A raiz aproximada é
r approx 2,92645,
com erro <=10^-3.

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