Tomando como modelo os Exemplos apresentados em sala de aula sobre o Método da Iteração Linear - MIL, encontrar a raiz r das equações abaixo relacionadas e pertencentes aos intervalos e precisão (erro) também fixados:
02: Exercício
2.1) Equação Rightarrow x^4-2 x^2-12 x-18=0;
2.2) intervalo da raiz Rightarrow[-2,-1];
2.3) precisão/erro Rightarrow varepsilon <= 10^-4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz r de
f(x)=x^4-2x^2-12x-18=0
no intervalo [-2,-1] com precisão varepsilon<=10^-4 usando o Método da Iteração Linear (MIL), que é um caso de método de ponto-fixo do tipo
xn+1=varphi(xn);

Passo 2

No MIL a ideia é escolher
varphi(x)=x + k,f(x)
de modo que seja um contração em [-2,-1]. Como
varphi'(x)=1 + k,f'(x)
precisamos de lvertvarphi'(x)rvert<1. Aqui
f'(x)=4x^3-4x-12
em [-2,-1] varia entre f'(-2)=-36 e f'(-1)=-12. A condição
-1<1+k,f'(x)<1
é equivalente a
-2<k,f'(x)<0
e, como f'(x)<0, isso dá
0<k<minxin[-2,-1]l(-2f'(x)r)=236approx0,0556
Escolhemos k=0,05, que garante contração.

Passo 3

Definimos
varphi(x)=x + 0,05l(x^4-2x^2-12x-18r)
e tomamos x0=-1,5 (ponto médio do intervalo). Vamos iterar
xn+1=varphi(xn)
até lvert xn+1-xnrvert<10^-4.

Passo 4

Primeiras iterações:
Para x0=-1,5
f(x0)=(-1,5)^4-2(-1,5)^2-12(-1,5)-18=0,5625,
x1=x0+0,05,f(x0)=-1,5+0,05cdot0,5625=-1,471875,
f(x1)approx0,02506,
x2=x1+0,05,f(x1)=-1,471875+0,05cdot0,02506=-1,470622
Aqui lvert x2-x1rvertapprox0,001253>10^-4, continua.

Passo 5

Terceira iteração:
f(x2)approx0,00045,
x3=x2+0,05,f(x2)=-1,470622+0,05cdot0,00045=-1,470600
Agora
lvert x3-x2rvertapprox2,25times10^-5<10^-4, então paramos.

Resposta

A raiz aproximada com erro <=10^-4 é
rapprox -1,4706

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