Tomando como modelo os Exemplos apresentados em sala de aula sobre o Método da Iteração Linear - MIL, encontrar a raiz r das equações abaixo relacionadas e pertencentes aos intervalos e precisão (erro) também fixados:
Exercício 03:
3.1) Equação Rightarrow f(x)=e^x-3 x=0;
3.2) intervalo da raiz Rightarrow[0,1];
3.3) precisão/erro Rightarrow varepsilon <= 10^-3.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Método da Iteração Linear (MIL) para achar a raiz r da função
f(x)=e^x-3x=0
no intervalo [0,1] com precisão varepsilon<=10^-3. Para isso vamos reescrever a equação na forma de ponto-fixo
x=varphi(x)
e iterar até a diferença entre duas aproximações consecutivas ficar abaixo de 10^-3.

Passo 2

Escolhemos a iteração
varphi(x)=e^x3
Para garantir convergência, verificamos
varphi'(x)=e^x3,
e no intervalo 0<= x<=1 temos
max[0,1]varphi'(x)=e^13approx0,906<1,
logo o método converge.

Passo 3

Tomamos como chute inicial
x0=0
e definimos o esquema iterativo
xn+1=varphi(xn)=e^xn3

Passo 4

Calculamos sucessivas iterações até lvert xn+1-xnrvert<=10^-3:
x1&=varphi(0)=tfrace^03=0,3333, x2&=varphi(0,3333)approx0,4652, x3&approx0,5308, x4&approx0,5668, x5&approx0,5874, x6&approx0,6000, x7&approx0,6074, x8&approx0,6118, x9&approx0,6146, x10&approx0,6161, x11&approx0,6169
Note que
lvert x11-x10rvertapprox0,0008<=10^-3,
então paramos em n=11.

Resposta

A raiz aproximada é
rapprox0,6169
com erro máximo inferior a 10^-3.

Exercícios relacionados