Utilize o método de eliminação gaussiana nos exercícios abaixo:
Exiba uma base para a imagem e uma base para o núcleo da seguinte transformação linear: T(x, y, z, t)= (x+2 y-t, 2 x-z+2 t,-2 x+y+3 z),

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a transformação linear
Tcolon R^4 to R^3, T(x,y,z,t) = (,x + 2y - t,;2x - z + 2t,;-2x + y +3z,)
Conteúdo: Álgebra linear – matriz de transformação, eliminação de Gauss, bases de imagem e núcleo.
O que vamos usar:
  • Montar a matriz A que representa T em relação às bases canônicas.
  • Fazer eliminação de Gauss (RREF) para achar pivôs e escrever sistema Av=0.
  • Identificar colunas pivô para a imagem e resolver o sistema para o núcleo.

Passo 2

Montando a matriz de T em relação às bases canônicas de R^4 e R^3, cada coluna é T(ei):
A = 1 & 2 & 0 & -1 2 & 0 & -1 & 2 -2 & 1 & 3 & 0
Agora vamos usar eliminação de Gauss para levar A a uma forma escalonada reduzida (RREF).

Passo 3

Eliminação de Gauss em A:
  1. Usamos a linha 1 como pivô para zerar abaixo:
    L2 ← L2 − 2·L1, L3 ← L3 + 2·L1
1 & 2 & 0 & -1 0 & -4 & -1 & 4 0 & 5 & 3 & -2
  1. Normalizamos L2: L2 ← (−1/4)·L2
1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & tfrac14 & -1 0 & 5 & 3 & -2
  1. Zeramos na coluna 2 em L1 e L3:
    L1 ← L1 − 2·L2, L3 ← L3 − 5·L2
1 & 0 & -tfrac12 & 1 0 & 1 & tfrac14 & -1 0 & 0 & tfrac74 & 3
  1. Normalizamos L3: L3 ← (4/7)·L3
1 & 0 & -tfrac12 & 1 0 & 1 & tfrac14 & -1 0 & 0 & 1 & tfrac127
  1. Zeramos acima em coluna 3:
    L1 ← L1 + \tfrac12·L3, L2 ← L2 − \tfrac14·L3
RREF(A)= 1 & 0 & 0 & tfrac137 0 & 1 & 0 & -tfrac107 0 & 0 & 1 & tfrac127
Pivôs nas colunas 1, 2, 3 ⇒ posto rank(A)=3.
Base da imagem: colunas originais de A com pivô, ou seja
,T(e1),,T(e2),,T(e3) = (1,2,-2),,(2,0,1),,(0,-1,3)

Passo 4

Para achar o núcleo, resolvemos A(x,y,z,t)^T=0 usando a RREF:
x + tfrac137t = 0, y - tfrac107t = 0, z + tfrac127t = 0
Isolando em função de t (variável livre):
x = -tfrac137t, y = tfrac107t, z = -tfrac127t, t = t
Então todo vetor no núcleo é
(x,y,z,t) = tl(-tfrac137,,tfrac107,,-tfrac127,,1r) = s,(-13,,10,,-12,,7),; sinR
Logo dimker(T)=1 e uma base é (-13,10,-12,7).

Resposta

Base da imagem:
(1,2,-2),;(2,0,1),;(0,-1,3)
Base do núcleo:
(-13,,10,,-12,,7)

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