3.5 A Toyco Watercraft tem um contrato com um fornecedor de peças envolvendo a realização de compras no valor de \ 150.000 ao ano. A primeira compra é realizada agora, seguida de compras similares ao longo dos próximos 5 anos. Determine o valor presente do contrato a uma taxa de juros deéó10 %$ ao ano.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
  • Cada compra tem valor \$150.000.
  • A primeira compra ocorre agora (no instante t=0).
  • Há compras “similares ao longo dos próximos 5 anos”. Interpretação mais provável: há compras anuais em t=1,2,3,4,5 além da de t=0. Ou seja, pagamentos em t=0,1,2,3,4,5 — total de 6 pagamentos iguais.
  • A taxa de juros é de 10\% ao ano, ou seja i=0,10.
O que o problema pede:
  • Determinar o valor presente (PV) do contrato, ou seja, o valor hoje equivalente a essa série de pagamentos, à taxa de 10\% ao ano.

Passo 2

Noções básicas (explicação didática do que é “valor presente” e fórmulas usadas).
  • Ideia: receber (ou pagar) dinheiro no futuro vale menos hoje por causa dos juros. Para trazer um valor futuro X pago em n anos para hoje, usa-se a fórmula do valor presente de um pagamento único:
\text{PV de um pagamento único} = \frac{X}{(1+i)^{n}},ú
onde X é o valor do pagamento futuro, i é a taxa de juros por período, e n é o número de períodos até o pagamento.
  • Para uma série de pagamentos iguais feitos no final de cada período (anuidades ordinárias) existe a fórmula
a_{\overline{n}\,|\,i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},
onde a_{\overline{n}\,|\,i} é o valor presente, no instante imediatamente anterior ao primeiro pagamento da anuidade, de 1 por período durante n períodos à taxa i.
  • No nosso caso há um pagamento imediatamente ( t=0) e depois uma anuidade de n=5 pagamentos em t=1,\dots,5. Então o PV total é a soma do pagamento em t=0 (que já vale seu valor nominal hoje) mais o PV da anuidade de 5 pagamentos.

Passo 3

Escrever a expressão do valor presente do contrato usando as fórmulas:
  • Seja X=150.000 e i=0,10.
  • PV do contrato:
\text{PV}=X + X\sum_{k=1}^{5}(1+i)^{-k}
ou, usando a notação de anuidade,
\text{PV}=X + X\cdot a_{\overline{5}\,|\,i}
onde
a_{\overline{5}\,|\,i}=\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}.
Aqui cada termo significa:
  • X é o pagamento imediato em t=0.
  • a_{\overline{5}\,|\,i} é o fator que transforma cada pagamento de X recebido em t=1,\dots,5 em seu equivalente em t=0.

Passo 4

Calcular numericamente passo a passo sem pular etapas.
  1. Calcular (1+i)^{5} com i=0,10:
(1+i) = 1{,}1
(1{,}1)^{2}=1{,}21
(1{,}1)^{3}=1{,}331
(1{,}1)^{4}=1{,}4641
(1{,}1)^{5}=1{,}61051
  1. Calcular (1+i)^{-5}:
(1+i)^{-5}=\frac{1}{(1{,}1)^{5}}=\frac{1}{1{,}61051}\approx 0{,}620921323.
  1. Calcular o fator da anuidade a_{\overline{5}\,|\,i}:
a_{\overline{5}\,|\,i}=\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}=\frac{1-0{,}620921323}{0{,}10}=\frac{0{,}379078677}{0{,}10}=3{,}79078677.
  1. Calcular a PV total:
\text{PV}=X + X\cdot a_{\overline{5}\,|\,i}=150.000\bigl(1+3{,}79078677\bigr)=150.000\cdot 4{,}79078677.
Agora a multiplicação:
150.000\cdot 4{,}79078677=150.000\cdot 4 + 150.000\cdot 0{,}79078677
=600.000 + 118.618,0155 =718.618,0155.
Arredondando para centavos (duas casas decimais):
\text{PV}\approx \$718.618,02.

Passo 5

Verificação alternativa curta (mesma ideia, só outra forma de somar): soma geométrica dos descontos
\sum_{k=0}^{5}(1+i)^{-k}=\frac{1-(1+i)^{-6}}{1-(1+i)^{-1}},
que, após simplificações, dá o mesmo resultado numérico que usamos (confere a consistência do cálculo).

Resposta

\$718.618,02

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