3.5 A Toyco Watercraft tem um contrato com um fornecedor de peças envolvendo a realização de compras no valor de \ 150.000ao ano. A primeira compra é realizada agora, seguida de compras similares ao longo dos próximos 5 anos. Determine o valor presente do contrato a uma taxa de juros de10 %$ ao ano.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
Cada compra tem valor \$150.000.
A primeira compra ocorre agora (no instante t=0).
Há compras “similares ao longo dos próximos 5 anos”. Interpretação mais provável: há compras anuais em t=1,2,3,4,5 além da de t=0. Ou seja, pagamentos em t=0,1,2,3,4,5 — total de 6 pagamentos iguais.
A taxa de juros é de 10\% ao ano, ou seja i=0,10.
O que o problema pede:
Determinar o valor presente (PV) do contrato, ou seja, o valor hoje equivalente a essa série de pagamentos, à taxa de 10\% ao ano.
Passo 2
Noções básicas (explicação didática do que é “valor presente” e fórmulas usadas).
Ideia: receber (ou pagar) dinheiro no futuro vale menos hoje por causa dos juros. Para trazer um valor futuro X pago em n anos para hoje, usa-se a fórmula do valor presente de um pagamento único:
\text{PV de um pagamento único} = \frac{X}{(1+i)^{n}},
onde X é o valor do pagamento futuro, i é a taxa de juros por período, e n é o número de períodos até o pagamento.
Para uma série de pagamentos iguais feitos no final de cada período (anuidades ordinárias) existe a fórmula
a_{\overline{n}\,|\,i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},
onde a_{\overline{n}\,|\,i} é o valor presente, no instante imediatamente anterior ao primeiro pagamento da anuidade, de 1 por período durante n períodos à taxa i.
No nosso caso há um pagamento imediatamente (t=0) e depois uma anuidade de n=5 pagamentos em t=1,\dots,5. Então o PV total é a soma do pagamento em t=0 (que já vale seu valor nominal hoje) mais o PV da anuidade de 5 pagamentos.
Passo 3
Escrever a expressão do valor presente do contrato usando as fórmulas:
Seja X=150.000 e i=0,10.
PV do contrato:
\text{PV}=X + X\sum_{k=1}^{5}(1+i)^{-k}
ou, usando a notação de anuidade,
\text{PV}=X + X\cdot a_{\overline{5}\,|\,i}
onde
a_{\overline{5}\,|\,i}=\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}.
Aqui cada termo significa:
X é o pagamento imediato em t=0.
a_{\overline{5}\,|\,i} é o fator que transforma cada pagamento de X recebido em t=1,\dots,5 em seu equivalente em t=0.
Passo 4
Calcular numericamente passo a passo sem pular etapas.