Propagação de uma Epidemia de Gripe (Runge-Kutta de 2^{\underline{\mathrm{a}}} ordem) \ [2,0 pontos]
O progresso de uma epidemia de gripe numa população de N indivíduos é modelado pelo seguinte sistema de equações diferenciais:
\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=-\beta x y, \\\ \frac{d y}{d t}=\beta x y-\alpha y, \\\ \frac{d z}{d t}=\alpha y, \end{array}\right.
em que x é o número de pessoas susceptíveis de apanhar a gripe, y é o número de pessoas infectadas e z o número de pessoas imunes (incluindo todos os recuperados) no tempo t.
Os parâmetros \alpha e \beta representam as taxas de recuperação e transmissão (por dia), respectivamente. Assume-se que a população total é fixa, ou seja, novos nascimentos são balanceados pelas mortes.
(a) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Avalie a situação da população passados 10 dias do começo da epidemia, usando o método de Runge-Kutta de 2^{\underline{\mathrm{a}}} ordem com h=5.
(b) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Interprete os resultados obtidos no fim de cada uma das etapas.
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo SIR para uma gripe numa população fixa de N indivíduos, dado pelo sistema
com parâmetros \alpha=0{,}05, \beta=0{,}0002 e condições iniciais
x(0)=980,\quad y(0)=20,\quad z(0)=0.
Queremos aproximar \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) em t=10 dias usando o método de Runge–Kutta de 2ª ordem (midpoint) com passo h=5, o que nos obriga a fazer duas etapas: de t=0 a t=5 e de t=5 a t=10.
Passo 2
O método de Runge–Kutta de 2ª ordem (midpoint) para um sistema \dot u=f(t,u) é dado por
Em t=5 dias, o número de susceptíveis caiu de 980 para cerca de 953, os infectados aumentaram de 20 para cerca de 40 e os recuperados (imunes) passaram de 0 para cerca de 7. Isso indica que a epidemia está em fase de crescimento inicial, com novas infecções superando as recuperações.
Em t=10 dias, há cerca de 903 pessoas susceptíveis, 76 infectadas e 20 recuperadas. Aumentou o ritmo de infecção (infectados dobraram de 5 a 10 dias) e cresceu também o total de recuperados, mas ainda há gente suficiente suscetível para sustentar o surto.
Resposta
Em t=5 dias: x(5)\approx953,51,\quad y(5)\approx39,66,\quad z(5)\approx6,83.
Em t=10 dias: x(10)\approx903,41,\quad y(10)\approx76,36,\quad z(10)\approx20,23.