Propagação de uma Epidemia de Gripe (Runge-Kutta de 2^{\underline{\mathrm{a}}} ordem) \ [2,0 pontos]
O progresso de uma epidemia de gripe numa população de N indivíduos é modelado pelo seguinte sistema de equações diferenciais:
\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=-\beta x y, \\\ \frac{d y}{d t}=\beta x y-\alpha y, \\\ \frac{d z}{d t}=\alpha y, \end{array}\right.
em que x é o número de pessoas susceptíveis de apanhar a gripe, y é o número de pessoas infectadas e z o número de pessoas imunes (incluindo todos os recuperados) no tempo t.
Os parâmetros \alpha e \beta representam as taxas de recuperação e transmissão (por dia), respectivamente. Assume-se que a população total é fixa, ou seja, novos nascimentos são balanceados pelas mortes.
Considere os valores:
\alpha=0.05, \quad \beta=0.0002, \quad x(0)=980, \quad y(0)=20, \quad z(0)=0 .
(a) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Avalie a situação da população passados 10 dias do começo da epidemia, usando o método de Runge-Kutta de 2^{\underline{\mathrm{a}}} ordem com h=5.
(b) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Interprete os resultados obtidos no fim de cada uma das etapas.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo SIR para uma gripe numa população fixa de N indivíduos, dado pelo sistema
\frac{dx}{dt}=-\beta\,x\,y,\quad \frac{dy}{dt}=\beta\,x\,y-\alpha\,y,\quad \frac{dz}{dt}=\alpha\,y,
com parâmetros \alpha=0{,}05, \beta=0{,}0002 e condições iniciais
x(0)=980,\quad y(0)=20,\quad z(0)=0.
Queremos aproximar \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) em t=10 dias usando o método de Runge–Kutta de 2ª ordem (midpoint) com passo h=5, o que nos obriga a fazer duas etapas: de t=0 a t=5 e de t=5 a t=10.

Passo 2

O método de Runge–Kutta de 2ª ordem (midpoint) para um sistema \dot u=f(t,u) é dado por
k_1 = f\bigl(t_n,u_n\bigr),\quad k_2 = f\!\Bigl(t_n+\tfrac{h}{2},\,u_n+\tfrac{h}{2}k_1\Bigr),\quad u_{n+1}=u_n + h\,k_2.
Aqui u=(x,y,z) e f=(f_x,f_y,f_z) com
f_x=-\beta xy,\quad f_y=\beta xy-\alpha y,\quad f_z=\alpha y.

Passo 3

Etapa de t_0=0 a t_1=5:
  1. k_1 em (x_0,y_0,z_0)=(980,20,0):
k_{1x}=-0{,}0002\cdot980\cdot20=-3{,}92,\quad k_{1y}=3{,}92-0{,}05\cdot20=2{,}92,\quad k_{1z}=0{,}05\cdot20=1.
  1. Ponto médio:
x_{m}=980 + 2{,}5\cdot(-3{,}92)=970{,}20,\quad y_{m}=20 + 2{,}5\cdot2{,}92=27{,}30,\quad z_{m}=0 + 2{,}5\cdot1=2{,}50.
  1. k_2 em (x_m,y_m,z_m):
k_{2x}=-0{,}0002\cdot970{,}20\cdot27{,}30\approx -5{,}2973, \quad k_{2y}=5{,}2973-0{,}05\cdot27{,}30\approx3{,}9323, \quad k_{2z}=0{,}05\cdot27{,}30=1{,}365.
  1. Atualização:
x_1=980 +5\cdot(-5{,}2973)\approx953{,}51,\quad y_1=20 +5\cdot3{,}9323\approx39{,}66,\quad z_1=0 +5\cdot1{,}365=6{,}83.

Passo 4

Etapa de t_1=5 a t_2=10:
  1. k_1 em (x_1,y_1,z_1)=(953{,}51,39{,}66,6{,}83):
k_{1x}=-0{,}0002\cdot953{,}51\cdot39{,}66\approx -7{,}5635, \quad k_{1y}=7{,}5635-0{,}05\cdot39{,}66\approx5{,}5804, \quad k_{1z}=0{,}05\cdot39{,}66\approx1{,}9831.
  1. Ponto médio:
x_{m}=953{,}51 +2{,}5\cdot(-7{,}5635)\approx934{,}60,\quad y_{m}=39{,}66 +2{,}5\cdot5{,}5804\approx53{,}61,\quad z_{m}=6{,}83 +2{,}5\cdot1{,}9831\approx11{,}78.
  1. k_2 em (x_m,y_m,z_m):
k_{2x}=-0{,}0002\cdot934{,}60\cdot53{,}61\approx -10{,}0213, \quad k_{2y}=10{,}0213-0{,}05\cdot53{,}61\approx7{,}3407, \quad k_{2z}=0{,}05\cdot53{,}61\approx2{,}6806.
  1. Atualização:
x_2=953{,}51 +5\cdot(-10{,}0213)\approx903{,}41, \quad y_2=39{,}66 +5\cdot7{,}3407\approx76{,}36, \quad z_2=6{,}83 +5\cdot2{,}6806\approx20{,}23.

Passo 5

Interpretação dos resultados:
  • Em t=5 dias, o número de susceptíveis caiu de 980 para cerca de 953, os infectados aumentaram de 20 para cerca de 40 e os recuperados (imunes) passaram de 0 para cerca de 7. Isso indica que a epidemia está em fase de crescimento inicial, com novas infecções superando as recuperações.
  • Em t=10 dias, há cerca de 903 pessoas susceptíveis, 76 infectadas e 20 recuperadas. Aumentou o ritmo de infecção (infectados dobraram de 5 a 10 dias) e cresceu também o total de recuperados, mas ainda há gente suficiente suscetível para sustentar o surto.

Resposta

Em t=5 dias:
x(5)\approx953,51,\quad y(5)\approx39,66,\quad z(5)\approx6,83.
Em t=10 dias:
x(10)\approx903,41,\quad y(10)\approx76,36,\quad z(10)\approx20,23.

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