Calcule as integrais abaixo pelas Regras Trapézio e de Simpson, usando 4 e 6 divisões para [a,b].
\int_{2}^{14} \frac{d x}{x}

Passo 1

O enunciado pede que eu aproxime a integral
\int_{2}^{14}\frac{dx}{x}
usando as regras numéricas compostas do Trapézio e de Simpson, com 4 divisões ( n=4) e com 6 divisões ( n=6).\n
As informações relevantes dadas são:
a=2,\qquad b=14,\qquad f(x)=\frac{1}{x}.
O objetivo é aplicar as fórmulas compostas do Trapézio e de Simpson para os dois valores de n e calcular os valores numéricos aproximados.

Passo 2

Regra composta do Trapézio — apresentação e ideia\n
Fórmula: separamos [a,b] em n subintervalos iguais de comprimento
h=\frac{b-a}{n}.
Os nós são
x_i=a+i\,h,\qquad i=0,1,\dots,n,
e f_i=f(x_i). A regra composta do Trapézio dá
T_n = h\left(\frac{f_0+f_n}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f_i\right).
O que isso faz, intuitivamente: aproxima cada subintervalo por um trapézio cuja área é a média das duas alturas vezes a largura h, e soma todas as áreas dos trapézios. Aqui f_0 é f(a) e f_n é f(b).\n
Vou aplicar essa fórmula diretamente com f(x)=1/x. Sempre convertemos frações de forma exata quando possível para evitar erros de arredondamento.

Passo 3

Trapézio com n=4\n
Calcule h:
h=\frac{14-2}{4}=3.
Nós:
x_0=2,\;x_1=5,\;x_2=8,\;x_3=11,\;x_4=14.
Valores da função (uso frações e também decimais quando conveniente):
f_0=\frac{1}{2},\quad f_1=\frac{1}{5},\quad f_2=\frac{1}{8},\quad f_3=\frac{1}{11},\quad f_4=\frac{1}{14}.
Calcule a soma interna:
\sum_{i=1}^{3} f_i=\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{11}.
Colocando em denominador comum 440 temos
\frac{1}{5}=\frac{88}{440},\quad \frac{1}{8}=\frac{55}{440},\quad \frac{1}{11}=\frac{40}{440},
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\sum_{i=1}^{3} f_i=\frac{88+55+40}{440}=\frac{183}{440}.
Agora
\frac{f_0+f_4}{2}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{14}}{2}=\frac{\frac{4}{7}}{2}=\frac{2}{7}.
Somando com a soma interna precisamos de denominador comum 3080 (produto 7\cdot 440):
\frac{2}{7}=\frac{880}{3080},\qquad \frac{183}{440}=\frac{1281}{3080},
então
\frac{f_0+f_4}{2}+\sum_{i=1}^{3} f_i=\frac{880+1281}{3080}=\frac{2161}{3080}.
Aplicando a fórmula do Trapézio:
T_4 = h\cdot\frac{2161}{3080}=3\cdot\frac{2161}{3080}=\frac{6483}{3080}.
Valor decimal aproximado:
T_4\approx 2{,}1055194805.

Passo 4

Regra composta de Simpson — apresentação e ideia\n
Simpson composta exige n par. A fórmula é: com h=(b-a)/n e nós x_i,
S_n=\frac{h}{3}\left(f_0+f_n+4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f_i +2\sum_{i\\ \text{par},\;i\ne0,n} f_i\right).í
Intuição: em cada par de subintervalos a regra de Simpson aproxima a função por um polinômio quadrático que passa pelos três pontos, e integra esse polinômio — costuma dar melhor precisão que o Trapézio para funções suaves.

Passo 5

Simpson com n=4\n
Aqui h=3 (como no Trapézio com n=4). Nós e valores já calculados:
f_0=\frac{1}{2},\; f_1=\frac{1}{5},\; f_2=\frac{1}{8},\; f_3=\frac{1}{11},\; f_4=\frac{1}{14}.
Somas par e ímpar:
\sum_{i\\ \text{ímpar}} f_i = f_1+f_3=\frac{1}{5}+\frac{1}{11}=\frac{11+5}{55}=\frac{16}{55},í
\sum_{i\\ \text{par},\,i\ne0,4} f_i = f_2=\frac{1}{8}.
Aplicando Simpson:
S_4=\frac{3}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{14}+4\cdot\frac{16}{55}+2\cdot\frac{1}{8}\right).
Simplificando o fator \frac{3}{3}=1 e calculando:
\frac{1}{2}+\frac{1}{14}=\frac{4}{7},
4\cdot\frac{16}{55}=\frac{64}{55},\qquad 2\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}.
Somando tudo com denominador comum 1540:
\frac{4}{7}=\frac{880}{1540},\quad \frac{64}{55}=\frac{1792}{1540},\quad \frac{1}{4}=\frac{385}{1540},
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S_4=\frac{880+1792+385}{1540}=\frac{3057}{1540}.
Valor decimal aproximado:
S_4\approx 1{,}9850649351.

Passo 6

Trapézio com n=6\n
Calcule h:
h=\frac{14-2}{6}=2.
Nós:
x_0=2,\;x_1=4,\;x_2=6,\;x_3=8,\;x_4=10,\;x_5=12,\;x_6=14.
Valores:
f_0=\frac{1}{2},\; f_1=\frac{1}{4},\; f_2=\frac{1}{6},\; f_3=\frac{1}{8},\; f_4=\frac{1}{10},\; f_5=\frac{1}{12},\; f_6=\frac{1}{14}.
Soma interna i=1 a 5:
\sum_{i=1}^{5} f_i=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}.
Com denominador comum 120:
\frac{1}{4}=\frac{30}{120},\;\frac{1}{6}=\frac{20}{120},\;\frac{1}{8}=\frac{15}{120},\;\frac{1}{10}=\frac{12}{120},\;\frac{1}{12}=\frac{10}{120},
\sum_{i=1}^{5} f_i=\frac{30+20+15+12+10}{120}=\frac{87}{120}=0{,}725.
Metade dos extremos:
\frac{f_0+f_6}{2}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{14}}{2}=\frac{2}{7}.
Some com a soma interna usando denominador 840 (pois 7\cdot 120=840):
\frac{2}{7}=\frac{240}{840},\qquad \frac{87}{120}=\frac{609}{840},
\frac{f_0+f_6}{2}+\sum_{i=1}^{5} f_i=\frac{240+609}{840}=\frac{849}{840}.
Aplicando Trapézio:
T_6 = h\cdot\frac{849}{840}=2\cdot\frac{849}{840}=\frac{1698}{840}=\frac{283}{140}.
Valor decimal aproximado:
T_6\approx 2{,}0214285714.

Passo 7

Simpson com n=6\n
Aqui h=2. Para Simpson precisamos das somas dos ímpares e dos pares (exceto extremos):
Ímpares: i=1,3,5 \Rightarrow f_1+f_3+f_5=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}.
Com denominador 24:
\frac{1}{4}=\frac{6}{24},\;\frac{1}{8}=\frac{3}{24},\;\frac{1}{12}=\frac{2}{24},
\sum_{i\\ \text{ímpar}} f_i=\frac{11}{24}.í
Pares (interiores): i=2,4 \Rightarrow f_2+f_4=\frac{1}{6}+\frac{1}{10}.
Com denominador 30:
\frac{1}{6}=\frac{5}{30},\;\frac{1}{10}=\frac{3}{30},\quad \sum_{i\\ \text{par}} f_i=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}.
Aplicando Simpson:
S_6=\frac{h}{3}\left(f_0+f_6+4\sum_{ímpares} f_i +2\sum_{pares} f_i\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{14}+4\cdot\frac{11}{24}+2\cdot\frac{4}{15}\right).í
Calcule os termos:
\frac{1}{2}+\frac{1}{14}=\frac{4}{7},\quad 4\cdot\frac{11}{24}=\frac{11}{6},\quad 2\cdot\frac{4}{15}=\frac{8}{15}.
Some tudo com denominador comum 210:
\frac{4}{7}=\frac{120}{210},\quad \frac{11}{6}=\frac{385}{210},\quad \frac{8}{15}=\frac{112}{210},
\frac{4}{7}+\frac{11}{6}+\frac{8}{15}=\frac{120+385+112}{210}=\frac{617}{210}.
Portanto
S_6=\frac{2}{3}\cdot\frac{617}{210}=\frac{1234}{630}=\frac{617}{315}.
Valor decimal aproximado:
S_6\approx 1{,}9593650794.

Passo 8

Comparação rápida com o valor exato (para termos referência)\n
A integral exata é
\int_{2}^{14}\frac{dx}{x}=\ln(14)-\ln(2)=\ln(7)\approx 1{,}9459101491.
Erros aproximados:
T_4-T_{\text{exato}}\approx 2{,}1055194805-1{,}9459101491\approx 0{,}1596,
S_4-T_{\text{exato}}\approx 1{,}9850649351-1{,}9459101491\approx 0{,}0392,
T_6-T_{\text{exato}}\approx 2{,}0214285714-1{,}9459101491\approx 0{,}0755,
S_6-T_{\text{exato}}\approx 1{,}9593650794-1{,}9459101491\approx 0{,}0135.
Observação: Simpson converge mais rápido aqui; já com n=6 o erro é bem menor do que o trapézio com n=4.

Resposta

T_{4}=\dfrac{6483}{3080}\approx 2{,}1055194805\n
S_{4}=\dfrac{3057}{1540}\approx 1{,}9850649351\n
T_{6}=\dfrac{283}{140}\approx 2{,}0214285714\n
S_{6}=\dfrac{617}{315}\approx 1{,}9593650794

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