Calcule as integrais abaixo pelas Regras Trapézio e de Simpson, usando 4 e 6 divisões para [a,b].
Passo 1
O enunciado pede que eu aproxime a integral
usando as regras numéricas compostas do Trapézio e de Simpson, com
divisões (
) e com
divisões (
).\n
As informações relevantes dadas são:
As informações relevantes dadas são:
O objetivo é aplicar as fórmulas compostas do Trapézio e de Simpson para os dois valores de
e calcular os valores numéricos aproximados.
Passo 2
Regra composta do Trapézio — apresentação e ideia\n
Fórmula: separamos em
subintervalos iguais de comprimento
Fórmula: separamos
Os nós são
e
. A regra composta do Trapézio dá
O que isso faz, intuitivamente: aproxima cada subintervalo por um trapézio cuja área é a média das duas alturas vezes a largura
, e soma todas as áreas dos trapézios. Aqui
é
e
é
.\n
Vou aplicar essa fórmula diretamente com . Sempre convertemos frações de forma exata quando possível para evitar erros de arredondamento.
Vou aplicar essa fórmula diretamente com
Passo 3
Trapézio com
\n
Calcule :
Calcule
Nós:
Valores da função (uso frações e também decimais quando conveniente):
Calcule a soma interna:
Colocando em denominador comum
temos
logo
Agora
Somando com a soma interna precisamos de denominador comum
(produto
):
então
Aplicando a fórmula do Trapézio:
Valor decimal aproximado:
Passo 4
Regra composta de Simpson — apresentação e ideia\n
Simpson composta exige par. A fórmula é: com
e nós
,
Simpson composta exige
Intuição: em cada par de subintervalos a regra de Simpson aproxima a função por um polinômio quadrático que passa pelos três pontos, e integra esse polinômio — costuma dar melhor precisão que o Trapézio para funções suaves.
Passo 5
Simpson com
\n
Aqui (como no Trapézio com
). Nós e valores já calculados:
Aqui
Somas par e ímpar:
Aplicando Simpson:
Simplificando o fator
e calculando:
Somando tudo com denominador comum
:
logo
Valor decimal aproximado:
Passo 6
Trapézio com
\n
Calcule :
Calcule
Nós:
Valores:
Soma interna
a
:
Com denominador comum
:
Metade dos extremos:
Some com a soma interna usando denominador
(pois
):
Aplicando Trapézio:
Valor decimal aproximado:
Passo 7
Simpson com
\n
Aqui . Para Simpson precisamos das somas dos ímpares e dos pares (exceto extremos):
Ímpares:
.
Com denominador :
Aqui
Ímpares:
Com denominador
Pares (interiores):
.
Com denominador :
Com denominador
Aplicando Simpson:
Calcule os termos:
Some tudo com denominador comum
:
Portanto
Valor decimal aproximado:
Passo 8
Comparação rápida com o valor exato (para termos referência)\n
A integral exata é
A integral exata é
Erros aproximados:
Observação: Simpson converge mais rápido aqui; já com
o erro é bem menor do que o trapézio com
.