No mês de setembro de 2023, o Rio Grande do Sul foi afetado por chuvas intensas que causaram danos em várias regiões. Muitas cidades ribeirinhas sofreram com as consequências dos alagamentos. Em uma delas, um engenheiro estava monitorando a elevação do nível da água e sua possível trajetória de alagamento em um terreno plano. Em um determinado momento, ele mapeou a área alagada em um sistema de coordenadas cartesianas e verificou que a linha reta que limitava a região alagada podia ser descrita pela equação y=2 x+5.
Com base nas previsões meteorológicas, estipulou que a reta que limitaria a região alagada após as chuvas passaria a ser representada pela equação y=2 x+7.
De acordo com os estudos realizados pelo engenheiro, qual é a distância entre as duas retas que representaram os limites da região alagada nos dois momentos avaliados?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que em dois momentos a linha que limita a água num terreno plano era dada por
y = 2x + 5
e depois mudou pra
y = 2x + 7,
A questão é achar a distância entre essas duas retas paralelas.
Isso é um problema de Geometria Analítica: distância entre retas paralelas no plano. A gente vai precisar
  1. passar cada reta pro formato geral ax + by + c = 0,
  2. usar a fórmula da distância entre retas paralelas.

Passo 2

Transformando cada reta no formato ax + by + c = 0.
Para y = 2x + 5, subtraio y dos dois lados:
2x + 5 - y = 0Longrightarrow 2x - y + 5 = 0,
Pra y = 2x + 7, faço a mesma:
2x + 7 - y = 0Longrightarrow 2x - y + 7 = 0,

Passo 3

Teoria da distância entre retas paralelas
Se eu tenho duas retas
ax + by + c1 = 0e ax + by + c2 = 0
a distância entre elas é dada por
d = |c2 - c1|raiza^2 + b^2,
Isso vem de projetar um vetor normal às duas retas e medir a diferença de “constantes” c1,c2.

Passo 4

Aqui a = 2, b = -1, e as constantes são c1 = 5 e c2 = 7.
Então
|c2 - c1| = |7 - 5| = 2
e
raiza^2 + b^2 = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5,
Substituindo na fórmula:
d = 2raiz5,

Resposta

A distância entre as duas retas é
boxed2raiz5 unidades

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