No mês de setembro de 2023, o Rio Grande do Sul foi afetado por chuvas intensas que causaram danos em várias regiões. Muitas cidades ribeirinhas sofreram com as consequências dos alagamentos. Em uma delas, um engenheiro estava monitorando a elevação do nível da água e sua possível trajetória de alagamento em um terreno plano. Em um determinado momento, ele mapeou a área alagada em um sistema de coordenadas cartesianas e verificou que a linha reta que limitava a região alagada podia ser descrita pela equação
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Com base nas previsões meteorológicas, estipulou que a reta que limitaria a região alagada após as chuvas passaria a ser representada pela equação
.
De acordo com os estudos realizados pelo engenheiro, qual é a distância entre as duas retas que representaram os limites da região alagada nos dois momentos avaliados?
Com base nas previsões meteorológicas, estipulou que a reta que limitaria a região alagada após as chuvas passaria a ser representada pela equação
De acordo com os estudos realizados pelo engenheiro, qual é a distância entre as duas retas que representaram os limites da região alagada nos dois momentos avaliados?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que em dois momentos a linha que limita a água num terreno plano era dada por
e depois mudou pra
A questão é achar a distância entre essas duas retas paralelas.
Isso é um problema de Geometria Analítica: distância entre retas paralelas no plano. A gente vai precisar
Isso é um problema de Geometria Analítica: distância entre retas paralelas no plano. A gente vai precisar
- passar cada reta pro formato geral
, - usar a fórmula da distância entre retas paralelas.
Passo 2
Transformando cada reta no formato
.
Para , subtraio
dos dois lados:
Para
Pra
Passo 3
Teoria da distância entre retas paralelas
Se eu tenho duas retas
Se eu tenho duas retas
a distância entre elas é dada por
Isso vem de projetar um vetor normal às duas retas e medir a diferença de “constantes”
.
Passo 4
Aqui
,
, e as constantes são
e
.
Então
Então
e
Substituindo na fórmula:
Resposta
A distância entre as duas retas é