Em um turma com 10 estudantes, 6 são mulheres e 4 são homens. Determine:
quantos grupos com 4 pessoas podemos formar?

Passo 1

O enunciado diz que há 10 estudantes no total, sendo 6 mulheres e 4 homens. A pergunta é: quantos grupos com 4 pessoas podemos formar?
Informações relevantes:
  • Total de elementos para escolher: n=10.
  • Tamanho de cada grupo: k=4.
  • A ordem dentro do grupo não importa (um grupo A,B,C,D é o mesmo que D,C,B,A).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e concreta): quando a ordem não importa usamos combinações. A combinação de n elementos tomados k a k é dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1. Por exemplo, 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24. A fórmula divide por k! e por (n-k)! para eliminar contagens equivalentes que diferem apenas na ordem.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema com n=10 e k=4:
\binom{10}{4}=\frac{10!}{4!\,6!}.

Passo 4

Vamos simplificar \frac{10!}{4!\,6!} escrevendo 10! como 10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!. Assim:
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!}{4!\cdot6!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.

Passo 5

Agora fazemos cancelamentos e multiplicações de forma simples (sem calculadora): por exemplo, divido 8 por 4 para obter 2, divido 9 por 3 para obter 3, e divido 10 por 2 para obter 5. Ficamos com
\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\;5\cdot3\cdot2\cdot7.
Calculando passo a passo: 5\cdot3=15, 15\cdot2=30, 30\cdot7=210.

Passo 6

Interpretação final: existem 210 formas diferentes de escolher um grupo de 4 pessoas dentre os 10 estudantes, porque estamos contando subconjuntos sem ordem.

Resposta

210

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