Para a matriz
pode-se afirmar que:
(A)
é um autovalor associado ao autovetor
.
(B)
é um autovalor associado ao autovetor
.
©
é um autovalor associado ao autovetor
.
(D)
é um autovalor associado ao autovetor
.
(A)
(B)
©
(D)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre autovalores e autovetores de uma matriz. Nosso objetivo é verificar qual das opções apresentadas está correta para a matriz dada:
Para resolver isso, vamos precisar calcular os autovalores e os autovetores dessa matriz e comparar com as opções fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz $ A
\lambda $) são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde $ I $ é a matriz identidade do mesmo tamanho que $ A $.
Passo 3
Vamos calcular $ A - \lambda I $:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática $ \lambda^2 + 3\lambda - 8 = 0 $ para encontrar os autovalores.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 3 $, e $ c = -8 $:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Vamos usar a equação:
Onde $ v $ é o autovetor associado ao autovalor $ \lambda $.
Passo 6
Vamos começar com $ \lambda_2 \approx -4,7028 $:
Substituindo na matriz $ A - \lambda I $:
Agora, resolvemos o sistema:
Podemos simplificar a primeira equação:
Para simplificar, podemos escolher $ v_2 = 1 $, então:
Portanto, um autovetor aproximado é:
Normalizando esse vetor (para ter comprimento 1):
Então, o autovetor unitário é aproximadamente:
Passo 7
Agora, vamos comparar com as opções fornecidas. A opção (B) diz:
Comparando com nossos cálculos:
Está praticamente igual à opção (B).
Resposta
A opção (B)
é um autovalor associado ao autovetor
está correta.