Para a matriz
A=(cc 1 & 2 2 & -4 )
pode-se afirmar que:
(A) -3,0000 é um autovalor associado ao autovetor v^T=[-0,4472 0,8944].
(B) -4,7016 é um autovalor associado ao autovetor v^T=[-0,3310 0,9436].
© -2,2361 é um autovalor associado ao autovetor v^T=[0,5257 -0,8507].
(D) -3,8284 é um autovalor associado ao autovetor v^T=[-0,3827 0,9239].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre autovalores e autovetores de uma matriz. Nosso objetivo é verificar qual das opções apresentadas está correta para a matriz dada:
A = 1 & 2 2 & -4
Para resolver isso, vamos precisar calcular os autovalores e os autovetores dessa matriz e comparar com as opções fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz $ A A \lambda $) são encontrados resolvendo a equação característica:
lambda
Onde $ I $ é a matriz identidade do mesmo tamanho que $ A $.

Passo 3

Vamos calcular $ A - \lambda I $:
A - lambda I
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
A - lambda I = 1 - lambda & 2 2 & -4 - lambda
Simplificando:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-4 - lambda) - (2)(2)
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-4 - lambda) - 4
= (-4 - lambda + 4lambda + lambda^2) - 4
= lambda^2 + 3lambda - 4 - 4

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática $ \lambda^2 + 3\lambda - 8 = 0 $ para encontrar os autovalores.
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda^2 + 3lambda - 8 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = 3 $, e $ c = -8 $:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1
Então, os autovalores são:
b = 3
c = -8

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Vamos usar a equação:
(A - lambda I)v = 0
Onde $ v $ é o autovetor associado ao autovalor $ \lambda $.

Passo 6

Vamos começar com $ \lambda_2 \approx -4,7028 $:
Substituindo na matriz $ A - \lambda I $:
lambda2 approx -4,7028
Agora, resolvemos o sistema:
A - lambda I
A - lambda2 I = 1 - (-4,7028) & 2 2 & -4 - (-4,7028) = 5,7028 & 2 2 & 0,7028
Podemos simplificar a primeira equação:
5,7028 v1 + 2 v2 = 0
Para simplificar, podemos escolher $ v_2 = 1 $, então:
2 v1 + 0,7028 v2 = 0
Portanto, um autovetor aproximado é:
v1 = -25,7028 v2 approx -0,35 v2
Normalizando esse vetor (para ter comprimento 1):
v2 = 1
Então, o autovetor unitário é aproximadamente:
v1 approx -0,35

Passo 7

Agora, vamos comparar com as opções fornecidas. A opção (B) diz:
-4,7016 é um autovalor associado ao autovetor v^T = [-0,3310 0,9436] é
Comparando com nossos cálculos:
lambda2 approx -4,7028 e v approx -0,3310 0,9436
Está praticamente igual à opção (B).

Resposta

A opção (B) -4,7016 é um autovalor associado ao autovetor v^T = [-0,3310 0,9436] está correta.

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