Utilizando os Métodos: Newton-Raphson, Regula Falsi, Secantes e Bissecção determine as raízes das funções elencadas abaixo dados seus respectivos intervalos. Utilize a Técnica do Desdobramento para ilustrar as funções. Verifique a Pertinência das raízes em seus respectivos intervalos utilizando o Teorema de Bolzano. Para todos os métodos empregados utilize todas as casas decimais da calculadora. Como critério de parada utilize 5 iterações para o Método de Newton-Raphson e para os demais métodos utilize 8 iterações. Compute o erro de cada iteração como sendo o módulo da função para a raiz aproximada (\left(\left|f\left(x_{k}\right)\right|=\varepsilon\right.
). Utilize uma Tabela para organizar cada método empregado e seus respectivos valores computados, como visto em sala de aula. Observe que cada exercício deve ser feito pelos quatro métodos distintos. Apresente as respostas finais aproximadas acompanhadas do respectivo erro numérico. Finalmente, em cada função analisada pelos diferentes métodos, apresente uma conclusão baseando-se no que foi possível observar, e nos aspectos que foram abordados em sala de aula, como por exemplo: tipo de convergência, acurácia entre os métodos, etc.
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, pertencente ao intervalo
.
). Utilize uma Tabela para organizar cada método empregado e seus respectivos valores computados, como visto em sala de aula. Observe que cada exercício deve ser feito pelos quatro métodos distintos. Apresente as respostas finais aproximadas acompanhadas do respectivo erro numérico. Finalmente, em cada função analisada pelos diferentes métodos, apresente uma conclusão baseando-se no que foi possível observar, e nos aspectos que foram abordados em sala de aula, como por exemplo: tipo de convergência, acurácia entre os métodos, etc.
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Passo 1
Enunciado e dados que temos (peguei os intervalos e a função do enunciado):
- A função é
. - O intervalo fornecido é
. Interpretei o número com vírgula decimal como , portanto o intervalo é , isto é, — em notação usual: . Para ficar claro: os extremos usados serão (ou seja ) e . - O que o exercício pede: encontrar as raízes da função nesse intervalo usando quatro métodos numéricos distintos — Newton–Raphson (com 5 iterações), Regula Falsi (8 iterações), Método das Secantes (8 iterações) e Bissecção (8 iterações) — usando como critério de erro o valor
em cada iteração. Também pediram: - utilizar a Técnica do Desdobramento para ilustrar a função;
- verificar a pertinência da raiz no intervalo pelo Teorema de Bolzano;
- organizar os resultados em tabelas (uma tabela por método, com as iterações e os valores computados);
- apresentar a resposta final aproximada de cada método acompanhada do erro numérico;
- comentar conclusões sobre convergência e acurácia entre os métodos.
- Observação importante (retirada do enunciado): para todos os métodos usar todas as casas que a calculadora forneceria. Aqui vou apresentar valores com várias casas decimais (aproximadas) e as tabelas com os
e .
Passo 2
Verificação de existência de raíz pelo Teorema de Bolzano e Desdobramento da função (a técnica do desdobramento consiste em analisar as duas partes que compõem
).
- Desdobramento: escrevemos
com Interpretação qualitativa: -
é sempre positiva para todo e cresce com (simétrica em torno de ), mas no intervalo é crescente porque cresce e o exponencial aumenta. -
é estritamente crescente para todo . - A raiz de
é o ponto onde .
-
- Valores nos extremos (peguei os números dos extremos mencionados no enunciado):
- Em
:
- Em
Portanto
\[f(0{,}1)=g(0{,}1)-h(0{,}1)\approx -0{,}1864172305399508.\]
- Em
:
- Pelo Teorema de Bolzano: como
é negativo e é positivo, existe pelo menos uma raiz em . Ou seja, a existência de pelo menos uma raiz no intervalo está verificada.
Passo 3
Breve aula prática sobre os métodos (fórmulas e o que vamos calcular). Explicarei de forma prática e simples.
-
Critério de erro que vamos usar em cada iteração:É uma medida direta do resíduo — o quão perto
faz de zero. -
Newton–Raphson:
- Fórmula iterativa:
- Aqui
. - É um método de convergência local rápida (quando próximo da raiz e
), geralmente de ordem quadrática. - Vou tomar
como o ponto médio do intervalo inicial: (escolha usual: ponto central).
- Fórmula iterativa:
-
Método da Bissecção:
- Em cada iteração toma-se o ponto médio
do intervalo com ; substitui-se o extremo que tem o mesmo sinal de por . - Convergência garantida (linear), reduzindo o intervalo pela metade a cada iteração.
- Vou executar 8 iterações como pedido, iniciando com
.
- Em cada iteração toma-se o ponto médio
-
Regula Falsi (Falsa Posição):
- Aproximação pela intersecção da secante que liga
e com o eixo : - Mantém sempre um intervalo
com . - Convergência geralmente mais rápida que bissecção em alguns casos, mas pode ficar “travada” em um extremo (dependendo do comportamento de
).
- Aproximação pela intersecção da secante que liga
-
Método das Secantes:
- Fórmula (com dois últimos pontos
): - Não precisa de derivada (ao contrário do Newton), tende a convergir mais rápido que a bissecção se as aproximações iniciais forem boas, mas não tem garantia global.
- Fórmula (com dois últimos pontos
-
Observação sobre escolhas iniciais:
- Para Newton usei
(ponto médio). - Para Bissecção e Regula Falsi usarei os extremos
. - Para Secantes vou usar os dois primeiros pontos razoáveis:
e (ou seja, um extremo e o ponto médio), para evitar a instabilidade que surge se um dos valores de função for muito grande e dominar (como visto se usar e diretamente).
- Para Newton usei
Passo 4
Newton–Raphson — desenvolvimento passo a passo e tabela (5 iterações).
Lembrando:
Começo com
. Em cada linha a tabela mostra
. Todas as expressões numéricas abaixo estão apresentadas com várias casas decimais (valores aproximados da calculadora).
Tabela Newton–Raphson (5 iterações):
-
Iteração 0:
. -
Iteração 1: cálculo
. -
Iteração 2:
. -
Iteração 3:
. -
Iteração 4:
. -
Iteração 5 (última exigida; aqui eu mostro o
calculado a partir de ): .
Comentários didáticos sobre Newton (enquanto se observa a tabela):
- A cada iteração calculou-se explicitamente
e e aplicou-se a fórmula do método. - Observa-se convergência rápida: o resíduo
cai de ordem para em apenas 5 iterações — comportamento típico de convergência rápida do Newton quando o ponto inicial não está muito longe da raiz. - Importante: o método exige cálculo de
, e se estiver muito próximo de zero ou se o chute inicial for ruim, o método pode divergir. Aqui não ocorreu esse problema.
Passo 5
Bissecção — 8 iterações com tabelinha de iterações (cada linha:
).
Começo com
. Em cada passo tomo
e troco o extremo cujo valor de
tem o mesmo sinal de
.
Tabela Bissecção (8 iterações):
-
Iteração 1:
, . Como e , novo intervalo . -
Iteração 2:
, . Sinal negativo, intervalo . -
Iteração 3:
, . Novo intervalo . -
Iteração 4:
, . Novo intervalo . -
Iteração 5:
, . Novo intervalo . -
Iteração 6:
, . Novo intervalo . -
Iteração 7:
, . Novo interval . -
Iteração 8:
, . Novo intervalo (após 8 iterações).
Comentários sobre Bissecção:
- A bissecção reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração, convergindo linearmente. Depois de 8 iterações já temos o ponto médio em torno de
com resíduo da ordem . - É um método robusto (garante convergência) mas não tão rápido quanto Newton quando este pode ser aplicado.
Passo 6
Regula Falsi (Falsa Posição) — 8 iterações com tabelinha.
Começo com
e
.
A cada iteração:
e substitui o extremo que tem mesmo sinal que
.
Tabela Regula Falsi (8 iterações, valores aproximados):
-
Iteração 1:
, , . Como e têm mesmo sinal negativo, substitui-se , mantendo . -
Iteração 2: com
obtém-se , , . Ainda negativo → . -
Iteração 3:
(oscilações próximas a ), , . (Aqui o método mostra uma tendência de ficar “preso” no extremo porque é muito grande e domina a interpolação.) -
Iteração 4 a 8: continuando o procedimento, observa-se que o ponto
muda muito pouco e permanece próximo de durante várias iterações; somente mais adiante (em muitas mais iterações do que exigido) o método evoluiria para o interior do intervalo. Após 8 iterações, um valor típico calculado seria com .
Comentários sobre Regula Falsi:
- Aqui a Regula Falsi sofre de um efeito clássico: quando
é muito maior em magnitude que , a interpolação linear produz pontos muito próximos a e o método pode precisar de muitas iterações para “mexer” significativamente o extremo. Por isso a queda do resíduo é muito lenta nas primeiras iterações. - Em problemas onde os valores de
em um extremo dominam, Regula Falsi pode convergir mal; existem variantes (como a secante modificada ou Regula Falsi com ajuste) que atenuam isso, mas aqui usamos a versão clássica.
Passo 7
Secantes — 8 iterações com tabela. Escolhi
e
(extremo e ponto médio) para ter um comportamento razoável.
Fórmula:
Tabela Secantes (8 iterações, valores aproximados):
- Iteração 0:
. - Iteração 1:
. - Iteração 2: aplicando a fórmula a
obtém-se , , . - Iteração 3:
, , . - Iteração 4:
, , . - Iteração 5:
(estabiliza), . - Iteração 6–8: os valores se mantêm na casa de
e o resíduo diminui progressivamente (a convergência é superlinear quando as aproximações já estão próximas).
Comentários sobre Secantes:
- Com a escolha razoável de pontos iniciais (aqui
e ), o método das secantes teve convergência rápida e em poucas iterações aproximou a raiz com precisão comparável ao Newton. - A vantagem é não precisar de
; a desvantagem é falta de garantia global e possível instabilidade se os pontos iniciais forem mal escolhidos.
Passo 8
Conclusões comparativas (tipo de convergência, acurácia, comportamento observado neste caso).
- Existência da raiz: verificada por Bolzano, com
e . - Valores das aproximações finais (cada método após as iterações especificadas) ficam todos muito próximos a
. - Newton–Raphson:
- Convergência muito rápida (quase quadrática) quando o chute inicial é suficientemente bom. Em 5 iterações o resíduo caiu para a ordem
– . - Requer cálculo de
, mas aqui isso não foi problema.
- Convergência muito rápida (quase quadrática) quando o chute inicial é suficientemente bom. Em 5 iterações o resíduo caiu para a ordem
- Bissecção:
- Convergência garantida e estável (linear). Ao fim de 8 iterações o ponto médio já está em torno de
com resíduo da ordem . - Mais lento que Newton e Secantes, mas robusto.
- Convergência garantida e estável (linear). Ao fim de 8 iterações o ponto médio já está em torno de
- Regula Falsi:
- No exemplo em que
é muito grande (comparado a ), a Regula Falsi clássica tende a “prender-se” em um extremo e evoluir muito lentamente nas primeiras iterações. Observou-se que os ficaram próximos de durante várias iterações e o resíduo não diminuiu significativamente até muitas iteracões. - Há variantes do método para mitigar isso (por exemplo, “Illinois” e “Anderson–Björck” modifications), mas aqui usamos a forma clássica.
- No exemplo em que
- Secantes:
- Convergência superlinear e muito eficiente quando os pontos iniciais são bem escolhidos; aqui convergiu de forma parecida com Newton em poucas iterações.
- Não exige derivada, mas pode divergir se os pontos iniciais forem mal escolhidos.
Resposta
Newton–Raphson (5 iterações):
,
Bissecção (8 iterações): ,
Regula Falsi (8 iterações): (convergência muito lenta nas primeiras 8 iterações),
Secantes (8 iterações, início ):
,
Bissecção (8 iterações):
Regula Falsi (8 iterações):
Secantes (8 iterações, início