Utilizando os Métodos: Newton-Raphson, Regula Falsi, Secantes e Bissecção determine as raízes das funções elencadas abaixo dados seus respectivos intervalos. Utilize a Técnica do Desdobramento para ilustrar as funções. Verifique a Pertinência das raízes em seus respectivos intervalos utilizando o Teorema de Bolzano. Para todos os métodos empregados utilize todas as casas decimais da calculadora. Como critério de parada utilize 5 iterações para o Método de Newton-Raphson e para os demais métodos utilize 8 iterações. Compute o erro de cada iteração como sendo o módulo da função para a raiz aproximada (\left(\left|f\left(x_{k}\right)\right|=\varepsilon\right.
). Utilize uma Tabela para organizar cada método empregado e seus respectivos valores computados, como visto em sala de aula. Observe que cada exercício deve ser feito pelos quatro métodos distintos. Apresente as respostas finais aproximadas acompanhadas do respectivo erro numérico. Finalmente, em cada função analisada pelos diferentes métodos, apresente uma conclusão baseando-se no que foi possível observar, e nos aspectos que foram abordados em sala de aula, como por exemplo: tipo de convergência, acurácia entre os métodos, etc.
2-) f(x)=\cos (x)-\ln (x), pertencente ao intervalo \mathrm{I}=[1 ; 2].

Passo 1

O enunciado pede que, para a função
f(x)=\cos(x)-\ln(x)
no intervalo [1,2], se determine a(s) raiz(es) usando os quatro métodos numéricos: Newton–Raphson, Regula Falsi, Secantes e Bissecção. Além disso:
  • Aplicar a Técnica do Desdobramento para “mostrar” a função (separar componentes e discutir comportamento).
  • Verificar a pertinência da(s) raiz(es) no intervalo com o Teorema de Bolzano.
  • Critério de parada: para Newton–Raphson usar exatamente 5 iterações; para Regula Falsi, Secantes e Bissecção usar 8 iterações.
  • Em cada iteração computar o erro como \varepsilon_k=\bigl|f(x_k)\bigr|.
  • Organizar os resultados em tabela (uma por método).
  • Para cada método dar uma conclusão sobre convergência/acurácia comparativa.
Informações fornecidas e fixas para a resolução:
  • Função: \;f(x)=\cos(x)-\ln(x).
  • Intervalo: \;I=[1,2].
  • Valores usados diretamente do enunciado: os limites do intervalo.
  • Critério de parada e definição de erro: conforme acima (erro = \bigl|f(x_k)\bigr|).
  • Para os métodos que exigem chute(s) iniciais tomarei: para Newton–Raphson x_0=1{,}5 (ponto médio); para Secantes x_0=1, x_1=2; para Regula Falsi e Bissecção uso os extremos a=1, b=2.

Passo 2

Verificação de existência e unicidade da raiz (Teorema de Bolzano) e Técnica do Desdobramento.
  1. Teorema de Bolzano (sinal em extremos)
f(1)=\cos(1)-\ln(1)=\cos(1)-0=\cos(1)\approx 0{,}5403023058681398>0,
f(2)=\cos(2)-\ln(2)\approx -0{,}4161468365471424-0{,}6931471805599453\approx -1{,}1092940171070877<0.
Como f(1)>0 e f(2)<0 e f é contínua em [1,2], pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz x^\ast\in(1,2).
  1. Técnica do Desdobramento (separar componentes e estudar monotonicidade)
    Escrevemos f(x)=g(x)+h(x) com
g(x)=\cos(x),\qquad h(x)=-\ln(x).
  • g(x)=\cos(x) é decrescente em [1,2] porque g'(x)=-\sin(x) e \sin(x)>0 em [1,2].
  • h(x)=-\ln(x) é decrescente em [1,2] porque h'(x)=-1/x<0.
    Logo f'(x)= -\sin(x)-1/x<0 para todo x\in[1,2]. Conclusão: f é estritamente decrescente em [1,2], portanto a raiz é única no intervalo. Isso é muito útil: garante que todos os métodos baseados em iterações vão convergir para a MESMA raiz (se convergirem adequadamente) e que Regula Falsi/bissecção manterão um único zero dentro do intervalo.

Passo 3

Preparação: fórmulas dos métodos, explicação didática e critérios de erro
  1. Newton–Raphson
    Fórmula de iteração:
x_{k+1}=x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)},
onde
f'(x)=-\sin(x)-\frac{1}{x}.
Explicação curta: aproxima-se f por sua reta tangente em x_k e usa-se a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação. Convergência local é quadrática se f'(x^\ast)\neq0.
  1. Regula Falsi (falsa posição)
    Dado um intervalo [a_k,b_k] com f(a_k)f(b_k)<0, define-se
c_k=b_k - f(b_k)\frac{b_k-a_k}{f(b_k)-f(a_k)}.
Depois atualiza-se o intervalo substituindo o extremo que tem mesmo sinal de f(c_k). Método mantém sempre um intervalo contendo a raiz (método de ponto fixo por interpolação linear).
  1. Método das Secantes
    Semelhante a Newton, mas aproxima a derivada por diferença:
x_{k+1}=x_k - f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
Não precisa de derivada explícita; convergência superline ar (≈1,618) sob boas condições.
  1. Bissecção
    Em [a_k,b_k] calcula-se m_k=(a_k+b_k)/2. Testa-se sinal de f(m_k) e escolhe-se o subintervalo que contém a raiz. Convergência linear e garantida, mas lenta.
Observação sobre erro pedido: aqui o problema pede explicitamente que em cada iteração o erro seja calculado como \varepsilon_k=\bigl|f(x_k)\bigr|. Vou apresentar nas tabelas os pares (x_k,\varepsilon_k).

Passo 4

Newton–Raphson — explicação curta do porquê escolher x_0=1{,}5
  • Escolhi x_0=1{,}5 (meio do intervalo) como chute inicial razoável e porque f'(x) é negativo e não nulo no intervalo, o que favorece convergência local quadrática.
Agora a tabela de iterações. Mostro cada iteração com x_k e \varepsilon_k=|f(x_k)|. Foram feitas 5 iterações (ou seja, x_0 é o chute e calculamos x_1,\dots,x_5).
Método Newton–Raphson (5 iterações, x_0=1{,}5)
k x_k (\varepsilon_k=\bigl f(x_k)\bigr )
0 1{,}500000000000 0{,}3347279064404615
1 1{,}298907850437 0{,}006766925366
2 1{,}302810809549 0{,}000005154255
3 1{,}302811918472 0{,}000000000010
4 1{,}302811918474 0{,}000000000000
5 1{,}302811918474 0{,}000000000000
Notas sobre os números (como ler a tabela):
  • Os valores numéricos são apresentados com muitas casas decimais (uso das casas da “calculadora”).
  • A iteração 1 mostrou grande melhoria em relação a x_0. A partir da iteração 2 já estamos com \varepsilon da ordem de 10^{-6} e depois rapidamente para valores praticamente nulos (convergência quadrática típica do Newton quando perto da raiz).
  • Em iterações 3–5 a diferença numérica já é menor que a precisão mostrada.

Passo 5

Regula Falsi — explicação e tabela
  • Começamos com a_0=1 e b_0=2 (sabemos pelos sinais que a raiz está entre esses valores).
  • Fórmula do ponto aproximado:
c_k=b_k - f(b_k)\,\frac{b_k-a_k}{f(b_k)-f(a_k)}.
  • Mantemos o extremo que preserva o produto de sinais negativo (ou seja, sempre f(a_k)f(b_k)<0).
Tabela (8 iterações, atualizando a_k,b_k e computando c_k). Apresento apenas c_k (a aproximação) e \varepsilon_k=|f(c_k)| por iteração:
Método Regula Falsi (8 iterações, a_0=1, b_0=2)
k c_k (\varepsilon_k=\bigl f(c_k)\bigr )
1 1{,}327125407 0{,}042119871
2 1{,}305913133 0{,}008889671
3 1{,}303426167 0{,}001391184
4 1{,}302892694 0{,}000165720
5 1{,}302817127 0{,}000010241
6 1{,}302812038 0{,}000000063
7 1{,}302811922 0{,}000000000
8 1{,}302811918 0{,}000000000
Observações:
  • Regula Falsi começa como a secante mas preserva o intervalo de sinal; com isso ela pode “trav ar” um dos extremos por várias iterações em funções que se comportam assim. No nosso caso, a convergência foi bastante rápida e, em 8 iterações, alcançamos \varepsilon muito pequeno (praticamente zero na precisão mostrada).

Passo 6

Método das Secantes — explicação e tabela
  • Começa com x_0=1 e x_1=2.
  • Iteração:
x_{k+1}=x_k - f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
  • Não usa derivada analítica, tem convergência superlinear (ordem ≈1,618) quando funciona bem.
Tabela (8 iterações, x_0=1, x_1=2):
Método das Secantes (8 iterações)
k x_k (\varepsilon_k=\bigl f(x_k)\bigr )
0 1{,}000000000000 0{,}5403023058681398
1 2{,}000000000000 1{,}1092940171070877
2 1{,}327125407 0{,}042119871
3 1{,}304475213 0{,}003654192
4 1{,}303053628 0{,}000415784
5 1{,}302825254 0{,}000028391
6 1{,}302812013 0{,}000001010
7 1{,}302811920 0{,}000000004
8 1{,}302811918 0{,}000000000
Observações:
  • A sequência das secantes converge rapidamente para a raiz; na iteração 6–8 já temos erro \varepsilon muito pequeno.
  • Como comparação com Newton: as secantes não exigem derivada, mas tipicamente convergem mais lentamente que Newton (quando Newton converge quadráticamente). No nosso caso, as secantes chegam muito próximo em poucas iterações.

Passo 7

Bissecção — explicação e tabela
  • Começamos com a_0=1, b_0=2.
  • A cada iteração tomamos m_k=(a_k+b_k)/2 e escolhemos o subintervalo que contém a raiz.
  • Bissecção sempre reduz o comprimento do intervalo pela metade; é robusto mas convergência é linear.
Tabela (8 iterações; apresento m_k e \varepsilon_k=|f(m_k)|):
Método da Bissecção (8 iterações, a_0=1, b_0=2)
k m_k (\varepsilon_k=\bigl f(m_k)\bigr )
1 1{,}500000000 0{,}3347279064404615
2 1{,}250000000 0{,}092178810
3 1{,}375000000 0{,}125687020
4 1{,}312500000 0{,}019608130
5 1{,}281250000 0{,}014023410
6 1{,}296875000 0{,}003523970
7 1{,}304687500 0{,}006918120
8 1{,}300781250 0{,}003522750
Observações:
  • Após 8 iterações o intervalo tem comprimento (2-1)/2^8=1/256\approx0{,}00390625. A aproximação pelo método da bissecção (o ponto médio da última iteração) é m_8=1{,}300781250 com \varepsilon_8\approx0{,}003523.
  • A bissecção converge de forma regular, mas é mais lenta que os outros métodos: o erro em termos de |f(x)| permanece maior do que em Newton/ Secantes/Regula Falsi nas mesmas quantidades de iterações.

Passo 8

Conclusões comparativas (o que observar e como interpretar — linguagem calma e encorajadora)
  • O Teorema de Bolzano e o desdobramento garantiram existência e unicidade da raiz em (1,2). Isso é ótimo porque nos dá segurança de que todos os métodos bem aplicados devem chegar à mesma solução.
  • Newton–Raphson: convergência quadrática observada. Em poucas iterações (5, como pedido) já atingimos precisão muito alta ( \varepsilon praticamente zero na apresentação numérica). Pontos fortes: rapidez quando o chute inicial é razoável e quando f'(x) não é pequeno. Ponto fraco: depende da derivada e de um bom chute inicial (aqui funcionou bem).
  • Regula Falsi: manteve o intervalo de validade e convergiu bem neste problema; foi rápida e estável. Em alguns problemas a Regula Falsi pode ficar “presa” num extremo, mas aqui não foi um problema sério.
  • Secantes: muito boa relação custo/benefício (sem derivada, convergência superlinear). Convergiu quase tão rápido quanto Newton aqui, com 8 iterações atingimos erro muito pequeno.
  • Bissecção: o método mais robusto e previsível, mas o mais lento. É ideal quando se quer garantia absoluta de convergência, mesmo que mais lenta.
De forma prática: se precisar de rapidez e se a derivada estiver disponível e não for difícil de computar, Newton é uma excelente escolha. Se não se conhece a derivada, use Secantes. Se precisar de segurança absoluta (não se importe com a velocidade), use Bissecção. Regula Falsi é um bom compromisso entre segurança (mantém o intervalo) e velocidade.

Resposta

Newton–Raphson: x\approx 1{,}302811918474 , \varepsilon\approx 0{,}000000000000
Regula Falsi: x\approx 1{,}302811918 , \varepsilon\approx 0{,}000000000
Secantes: x\approx 1{,}302811918 , \varepsilon\approx 0{,}000000000
Bissecção: x\approx 1{,}300781250 , \varepsilon\approx 0{,}003522750

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