Todos os cálculos serão feitos usando Gauss–Jordan com pivotamento parcial e aritmética com 6 dígitos significativos (ou seja, após cada operação relevante nós arredondamos os resultados para 6 dígitos significativos).]
Passo 2
O que é Gauss–Jordan com pivotamento parcial (explicação didática, passo a passo):
Objetivo: transformar a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] por operações elementares de linha até obter a matriz identidade à esquerda e, então, a solução diretamente à direita.
Pivotamento parcial: em cada coluna k escolhemos, entre as linhas k,k+1,\dots,n, a linha cuja entrada em coluna k tem maior valor absoluto; se for necessário, trocamos linhas. Isso reduz problemas numéricos (evita dividir por um pivô pequeno).
Operações permitidas: multiplicar uma linha por escalar não-nulo; somar a uma linha outra linha multiplicada por escalar; trocar linhas.
Aritmética com 6 dígitos significativos: após cada operação (divisão para normalizar pivô, multiplicações de linhas e somas/subtrações) arredondamos o resultado para 6 dígitos significativos. Isso simula o efeito de precisão limitada numa calculadora científica com 6 dígitos.
Vou aplicar esse método rigorosamente, mostrando pivôs, escalações e eliminações, e apresentando a matriz aumentada após cada etapa principal. Vou usar \left[A\mid b\right] para representar a matriz aumentada.
Passo 3
Montagem inicial da matriz aumentada (dados do enunciado):
Escolha do método: seguimos Gauss–Jordan completo (reduzir até a forma identidade) com pivotamento parcial coluna a coluna.]
Passo 4
Procuramos o maior valor absoluto na coluna 1 entre as linhas 1–4. Os valores absolutos são 1{,}745,\;0{,}02701,\;0{,}9105,\;0{,}3084. O maior é 1{,}745 (linha 1). Não é necessário trocar linhas.
Normalizamos a linha 1 dividindo por 1{,}745. Divisão e arredondamento para 6 dígitos significativos:
Eliminamos a coluna 1 nas linhas 2,3,4 usando múltiplos da linha 1 (cada operação com arredondamento a 6 dígitos significativos). Após essas operações obtemos a matriz aumentada:
(Os números foram arredondados a 6 dígitos significativos imediatamente após cada operação intermediária.)]
Passo 5
Entre as linhas 2–4, procuramos o maior valor absoluto na coluna 2: |2{,}74958|,\;|0{,}301897|,\;|2{,}36423|. O maior é 2{,}74958 (linha 2). Sem troca.
Normalizamos a linha 2 dividindo por 2{,}74958. Após divisão e arredondamento a 6 dígitos significativos, a linha 2 fica:
O pivô natural na coluna 4 é na linha 4: 1{,}73830. Normalizamos a linha 4 dividindo por 1{,}73830. O inverso com 6 dígitos significativos é \approx 0{,}575274. Assim:
Agora eliminamos a coluna 4 nas linhas 1,2,3 usando a linha 4 (Gauss–Jordan completa). Após eliminar e arredondar a 6 dígitos significativos, obtemos a forma reduzida (identidade à esquerda) e o vetor solução à direita:
Cada número do lado direito foi obtido seguindo os passos de eliminação e arredondando todas as operações intermédias para 6 dígitos significativos, conforme pedido.]