Usando Gauss-Jordan com pivotamento parcial e aritmética de 6 digitos, resolva o sistema linear A x=b, sendo: A=\left[\begin{array}{cccc}1.745 & 0.02701 & -0.9105 & -0.3084 \\\\ 0.02701 & 2.75 & 0.2878 & -2.369 \\\\ -0.9105 & 0.2878 & 2.426 & -1.086 \\\\ -0.3084 & -2.369 & -1.086 & 4.334\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l}1.086 \\\\ 3.081 \\\\ 4.921 \\\\ 0.02376\end{array}\right]
x_{1}= \square
x_{2}= \square
x_{3}= \square
x_{4}= \_\_\_\_
Para facilitar a transcrição, estes dados poderão ser úteis:
[[1.745, 0.02701, -0.9105, -0.3084], [0.02701, 2.75, 0.2878, -2.369], [-0.9105, 0.2878, 2.426, -1.086], [-0.3084, -2.369, -1.086, 4.334]]
[1.086, 3.081, 4.921, 0.02376 ]

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear A x = b, ou seja encontrar x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}, onde foram fornecidos A e b. Os dados dados são:
A=\begin{pmatrix} 1{,}745 & 0{,}02701 & -0{,}9105 & -0{,}3084\\[4pt] 0{,}02701 & 2{,}75 & 0{,}2878 & -2{,}369\\[4pt] -0{,}9105 & 0{,}2878 & 2{,}426 & -1{,}086\\[4pt] -0{,}3084 & -2{,}369 & -1{,}086 & 4{,}334 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}1{,}086\\[4pt]3{,}081\\[4pt]4{,}921\\[4pt]0{,}02376\end{pmatrix}.
Pergunta explícita: determinar
x_{1}=\square,\quad x_{2}=\square,\quad x_{3}=\square,\quad x_{4}=\square.
Todos os cálculos serão feitos usando Gauss–Jordan com pivotamento parcial e aritmética com 6 dígitos significativos (ou seja, após cada operação relevante nós arredondamos os resultados para 6 dígitos significativos).]

Passo 2

O que é Gauss–Jordan com pivotamento parcial (explicação didática, passo a passo):
  • Objetivo: transformar a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] por operações elementares de linha até obter a matriz identidade à esquerda e, então, a solução diretamente à direita.
  • Pivotamento parcial: em cada coluna k escolhemos, entre as linhas k,k+1,\dots,n, a linha cuja entrada em coluna k tem maior valor absoluto; se for necessário, trocamos linhas. Isso reduz problemas numéricos (evita dividir por um pivô pequeno).
  • Operações permitidas: multiplicar uma linha por escalar não-nulo; somar a uma linha outra linha multiplicada por escalar; trocar linhas.
  • Aritmética com 6 dígitos significativos: após cada operação (divisão para normalizar pivô, multiplicações de linhas e somas/subtrações) arredondamos o resultado para 6 dígitos significativos. Isso simula o efeito de precisão limitada numa calculadora científica com 6 dígitos.
Vou aplicar esse método rigorosamente, mostrando pivôs, escalações e eliminações, e apresentando a matriz aumentada após cada etapa principal. Vou usar \left[A\mid b\right] para representar a matriz aumentada.

Passo 3

Montagem inicial da matriz aumentada (dados do enunciado):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}745 & 0{,}02701 & -0{,}9105 & -0{,}3084 & 1{,}086\\[4pt] 0{,}02701 & 2{,}75 & 0{,}2878 & -2{,}369 & 3{,}081\\[4pt] -0{,}9105 & 0{,}2878 & 2{,}426 & -1{,}086 & 4{,}921\\[4pt] -0{,}3084 & -2{,}369 & -1{,}086 & 4{,}334 & 0{,}02376 \end{array}\right]
Escolha do método: seguimos Gauss–Jordan completo (reduzir até a forma identidade) com pivotamento parcial coluna a coluna.]

Passo 4

  • Procuramos o maior valor absoluto na coluna 1 entre as linhas 1–4. Os valores absolutos são 1{,}745,\;0{,}02701,\;0{,}9105,\;0{,}3084. O maior é 1{,}745 (linha 1). Não é necessário trocar linhas.
  • Normalizamos a linha 1 dividindo por 1{,}745. Divisão e arredondamento para 6 dígitos significativos:
\text{Linha }1 \leftarrow \frac{\text{Linha }1}{1{,}745}\Rightarrow \begin{array}{l} 1,\quad 0{,}0154828,\quad -0{,}521678,\quad -0{,}176783,\quad 0{,}622064 \end{array}
  • Eliminamos a coluna 1 nas linhas 2,3,4 usando múltiplos da linha 1 (cada operação com arredondamento a 6 dígitos significativos). Após essas operações obtemos a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0{,}0154828 & -0{,}521678 & -0{,}176783 & 0{,}622064\\[4pt] 0 & 2{,}74958 & 0{,}301891 & -2{,}36423 & 3{,}06420\\[4pt] 0 & 0{,}301897 & 1{,}95101 & -1{,}24696 & 5{,}48739\\[4pt] 0 & -2{,}36423 & -1{,}24689 & 4{,}27948 & 0{,}215605 \end{array}\right]
(Os números foram arredondados a 6 dígitos significativos imediatamente após cada operação intermediária.)]

Passo 5

  • Entre as linhas 2–4, procuramos o maior valor absoluto na coluna 2: |2{,}74958|,\;|0{,}301897|,\;|2{,}36423|. O maior é 2{,}74958 (linha 2). Sem troca.
  • Normalizamos a linha 2 dividindo por 2{,}74958. Após divisão e arredondamento a 6 dígitos significativos, a linha 2 fica:
\text{Linha }2 \leftarrow \frac{\text{Linha }2}{2{,}74958}\Rightarrow \begin{array}{l} 0,\;1,\;0{,}109795,\;-0{,}85985,\;1{,}11433 \end{array}
  • Eliminamos coluna 2 nas demais linhas (1,3,4) usando a nova linha 2. Após eliminar e arredondar a 6 dígitos significativos, a matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -0{,}523378 & -0{,}16347 & 0{,}604811\\[4pt] 0 & 1 & 0{,}109795 & -0{,}85985 & 1{,}11433\\[4pt] 0 & 0 & 1{,}91786 & -0{,}987374 & 5{,}15097\\[4pt] 0 & 0 & -0{,}987309 & 2{,}24660 & 2{,}85014 \end{array}\right]]

Passo 6

  • Entre as linhas 3–4, maior valor absoluto na coluna 3 é |1{,}91786|> | -0{,}987309|. Pivot: linha 3 (nenhuma troca).
  • Normalizamos a linha 3 dividindo por 1{,}91786. O inverso calculado com 6 dígitos significativos é \approx 0{,}521414. Então:
\text{Linha }3 \leftarrow \frac{\text{Linha }3}{1{,}91786}\Rightarrow \begin{array}{l} 0,\;0,\;1,\;-0{,}514831,\;2{,}68579 \end{array}
(Valores arredondados a 6 dígitos significativos.)
  • Eliminamos a coluna 3 nas linhas 1,2,4 usando a nova linha 3. Após essas eliminações e arredondamentos, a matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -0{,}432921 & 2{,}01049\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -0{,}803324 & 0{,}819444\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -0{,}514831 & 2{,}68579\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1{,}73830 & 5{,}50184 \end{array}\right]]

Passo 7

  • O pivô natural na coluna 4 é na linha 4: 1{,}73830. Normalizamos a linha 4 dividindo por 1{,}73830. O inverso com 6 dígitos significativos é \approx 0{,}575274. Assim:
\text{Linha }4 \leftarrow \frac{\text{Linha }4}{1{,}73830}\Rightarrow \begin{array}{l} 0,\;0,\;0,\;1,\;3{,}16507 \end{array}
  • Agora eliminamos a coluna 4 nas linhas 1,2,3 usando a linha 4 (Gauss–Jordan completa). Após eliminar e arredondar a 6 dígitos significativos, obtemos a forma reduzida (identidade à esquerda) e o vetor solução à direita:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 3{,}38072\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 3{,}36202\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 4{,}31527\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 3{,}16507 \end{array}\right]
Cada número do lado direito foi obtido seguindo os passos de eliminação e arredondando todas as operações intermédias para 6 dígitos significativos, conforme pedido.]

Resposta

x_{1}=3{,}38072
x_{2}=3{,}36202
x_{3}=4{,}31527
x_{4}=3{,}16507

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