Use o Teorema de Lagrange para calcular os intervalos que contém as reízes positivas e o que contém as raizes negativas do polinômio
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede.
Temos o polinômio
Temos o polinômio
e queremos, usando o Teorema de Lagrange (que dá um limite para as raízes), achar:
- um intervalo que contenha todas as raízes positivas,
- e um intervalo que contenha todas as raízes negativas.
O conteúdo de matéria é:
- Teorema de Lagrange para cota superior de raízes de um polinômio.
- Aplicar esse teorema em
para raízes positivas e em para raízes negativas.
Passo 2
Vamos entender o Teorema de Lagrange:
Se
Se
tem
, defina o conjunto
e seja
Então toda raiz positiva
de
satisfaz
Explicando: você pega todos os coeficientes negativos de
(tirando o sinal “–”), escolhe o maior deles como
, e calcula
. É uma “margem” que garante que nenhuma raiz positiva seja maior que isso.
Passo 3
Aplicando a raiz positiva em
:
- Aqui
. - Os coeficientes negativos de
são e .
Entãoe . - Logo
. - A cota superior para raízes positivas é
Isso diz que todas as raízes positivas de
estão dentro de
Passo 4
Para as raízes negativas, a gente troca
por
e aplica o mesmo raciocínio em
Agora em
:
-
. - Coeficientes negativos são
e .
Entãoe . -
. - A cota superior para as raízes positivas de
é
Mas essas raízes positivas de
são justamente as raízes negativas de
.
Logo todas as raízes negativas de satisfazem
Logo todas as raízes negativas de
Resposta
As raízes positivas de
estão em
e as raízes negativas estão em