Use o Teorema de Lagrange para calcular os intervalos que contém as reízes positivas e o que contém as raizes negativas do polinômio
P(x)=x^4-5 x^3-7 x^2+29 x+30

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede.
Temos o polinômio
P(x)=x^4-5x^3-7x^2+29x+30
e queremos, usando o Teorema de Lagrange (que dá um limite para as raízes), achar:
  • um intervalo que contenha todas as raízes positivas,
  • e um intervalo que contenha todas as raízes negativas.
O conteúdo de matéria é:
  1. Teorema de Lagrange para cota superior de raízes de um polinômio.
  2. Aplicar esse teorema em para raízes positivas e em para raízes negativas.

Passo 2

Vamos entender o Teorema de Lagrange:
Se
Q(x)=anx^n + an-1x^n-1 + cdots + a0
tem S = ,imid 0<= i, defina o conjunto
B = max,iin S(-ai)(ou 0, se não houver ai<0)
e seja
r ;<=; 1 + Ban ã
Então toda raiz positiva de satisfaz
Explicando: você pega todos os coeficientes negativos de (tirando o sinal “–”), escolhe o maior deles como , e calcula . É uma “margem” que garante que nenhuma raiz positiva seja maior que isso.

Passo 3

Aplicando a raiz positiva em R+=1 + Ba4 = 1 + 71 = 8 :
  • Aqui boxed0 < x <= 8 .
  • Os coeficientes negativos de são e .
    Então e .
  • Logo .
  • A cota superior para raízes positivas é
Isso diz que todas as raízes positivas de estão dentro de

Passo 4

Para as raízes negativas, a gente troca P(-x)=(-x)^4 -5(-x)^3 -7(-x)^2 +29(-x)+30 = x^4 +5x^3 -7x^2 -29x +30 por R!neg = 1 + 291 = 30 e aplica o mesmo raciocínio em
-30 <= x < 0
Agora em :
  • .
  • Coeficientes negativos são e .
    Então e .
  • .
  • A cota superior para as raízes positivas de é
Mas essas raízes positivas de são justamente as raízes negativas de .
Logo todas as raízes negativas de satisfazem

Resposta

As raízes positivas de (0,,8], estão em
[-30,,0)
e as raízes negativas estão em

Exercícios relacionados