Determine a fatoração
das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente achar a fatoração LU da matriz
Isso é de “Decomposição LU” em Álgebra Linear. A ideia é escrever
uij = aij - sumk=1^i-1 lik,ukj, lij = aij - sumk=1^j-1 lik,ukjujj , onde
-
é uma matriz triangular inferior com “1”s na diagonal, -
é uma matriz triangular superior.
O que vamos usar:
- O método de Doolittle (a gente vai montando
linha a linha e coluna a coluna). - As fórmulas
-
para a primeira linha de , -
para a primeira coluna de , - Depois, em geral,
-
Pronto, agora bora calcular passo a passo.
Passo 2
Primeira linha de
u11 = a11 = 16 e primeira coluna de
u1j = a1j, j=1,2,3,4 ;longrightarrow; (u12,u13,u14) = (-4,,12,,-4) :
-
Pivot inicial:
li1 = ai1u11, i=2,3,4 -
Preenchemos a primeira linha de
:l21 = -416 = -tfrac14, l31 = 1216 = tfrac34, l41 = -416 = -tfrac14 L = 1 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & 1 & 0 & 0 tfrac34 & 0 & 1 & 0 -tfrac14 & 0 & 0 & 1 , U = 16 & -4 & 12 & -4 0 & & & 0 & & & 0 & & & -
Preenchemos a primeira coluna de
(exceto o primeiro que já é 1):Calculando:
Até aqui temos
Passo 3
Agora vamos à segunda linha de
u22 = a22 - l21,u12 = 2 - l(-tfrac14r)cdot(-4) = 2 - 1 = 1 e a segunda coluna de
u23 = a23 - l21,u13 = -1 -l(-tfrac14r)cdot12 = -1 +3 = 2, :
-
Calcula
:u24 = a24 - l21,u14 = 1 -l(-tfrac14r)cdot(-4) = 1 -1 = 0 l32 = a32 - l31,u12u22 = -1 - tfrac34cdot(-4)1 = -1 +31 = 2 -
:L = 1 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & 1 & 0 & 0 tfrac34 & 2 & 1 & 0 -tfrac14 & 0 & 0 & 1 , U = 16 & -4 & 12 & -4 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & & 0 & 0 & & -
Agora
:
Até aqui fica
Passo 4
Terceira linha de
u33 = a33 - l31u13 - l32u23 = 14 - tfrac34cdot12 - 2cdot2 = 14 - 9 - 4 = 1 e segunda/terceira coluna de
u34 = a34 - l31u14 - l32u24 = -2 - tfrac34cdot(-4) - 2cdot0 = -2 +3 = 1 :
-
:l42 = a42 - l41u12u22 = 1 -(-tfrac14)cdot(-4)1 = 1 -11 = 0 l43 = a43 - l41u13 - l42u23u33 = -2 -(-tfrac14)cdot12 - 01 = -2 +3 = 1 -
:L = 1 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & 1 & 0 & 0 tfrac34 & 2 & 1 & 0 -tfrac14 & 0 & 1 & 1 , U = 16 & -4 & 12 & -4 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & & -
: -
:
Agora temos
Passo 5
Finalmente, computa
u44 = a44 - l41u14 - l42u24 - l43u34 = 83 - l(-tfrac14r)cdot(-4) - 0cdot0 - 1cdot1 = 83 - 1 - 1 = 81 :
Pronto, fechou tudo.
Resposta
A fatoração
L = 1 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & 1 & 0 & 0 tfrac34 & 2 & 1 & 0 -tfrac14 & 0 & 1 & 1 , U = 16 & -4 & 12 & -4 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 81 é