Determine a fatoração LU das seguintes matrizes:

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente achar a fatoração LU da matriz
A = 16 & -4 & 12 & -4 -4 & 2 & -1 & 1 12 & -1 & 14 & -2 -4 & 1 & -2 & 83
Isso é de “Decomposição LU” em Álgebra Linear. A ideia é escrever uij = aij - sumk=1^i-1 lik,ukj, lij = aij - sumk=1^j-1 lik,ukjujj , onde
  • é uma matriz triangular inferior com “1”s na diagonal,
  • é uma matriz triangular superior.
O que vamos usar:
  1. O método de Doolittle (a gente vai montando linha a linha e coluna a coluna).
  2. As fórmulas
    • para a primeira linha de ,
    • para a primeira coluna de ,
    • Depois, em geral,
Pronto, agora bora calcular passo a passo.

Passo 2

Primeira linha de u11 = a11 = 16 e primeira coluna de u1j = a1j, j=1,2,3,4 ;longrightarrow; (u12,u13,u14) = (-4,,12,,-4) :
  1. Pivot inicial:
    li1 = ai1u11, i=2,3,4
  2. Preenchemos a primeira linha de l21 = -416 = -tfrac14, l31 = 1216 = tfrac34, l41 = -416 = -tfrac14 :
    L = 1 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & 1 & 0 & 0 tfrac34 & 0 & 1 & 0 -tfrac14 & 0 & 0 & 1 , U = 16 & -4 & 12 & -4 0 & & & 0 & & & 0 & & &
  3. Preenchemos a primeira coluna de (exceto o primeiro que já é 1):
    Calculando:
Até aqui temos

Passo 3

Agora vamos à segunda linha de u22 = a22 - l21,u12 = 2 - l(-tfrac14r)cdot(-4) = 2 - 1 = 1 e a segunda coluna de u23 = a23 - l21,u13 = -1 -l(-tfrac14r)cdot12 = -1 +3 = 2, :
  1. Calcula u24 = a24 - l21,u14 = 1 -l(-tfrac14r)cdot(-4) = 1 -1 = 0 :
    l32 = a32 - l31,u12u22 = -1 - tfrac34cdot(-4)1 = -1 +31 = 2
  2. L = 1 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & 1 & 0 & 0 tfrac34 & 2 & 1 & 0 -tfrac14 & 0 & 0 & 1 , U = 16 & -4 & 12 & -4 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & & 0 & 0 & & :
  3. Agora :
Até aqui fica

Passo 4

Terceira linha de u33 = a33 - l31u13 - l32u23 = 14 - tfrac34cdot12 - 2cdot2 = 14 - 9 - 4 = 1 e segunda/terceira coluna de u34 = a34 - l31u14 - l32u24 = -2 - tfrac34cdot(-4) - 2cdot0 = -2 +3 = 1 :
  1. l42 = a42 - l41u12u22 = 1 -(-tfrac14)cdot(-4)1 = 1 -11 = 0 :
    l43 = a43 - l41u13 - l42u23u33 = -2 -(-tfrac14)cdot12 - 01 = -2 +3 = 1
  2. L = 1 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & 1 & 0 & 0 tfrac34 & 2 & 1 & 0 -tfrac14 & 0 & 1 & 1 , U = 16 & -4 & 12 & -4 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & & :
  3. :
  4. :
Agora temos

Passo 5

Finalmente, computa u44 = a44 - l41u14 - l42u24 - l43u34 = 83 - l(-tfrac14r)cdot(-4) - 0cdot0 - 1cdot1 = 83 - 1 - 1 = 81 :
Pronto, fechou tudo.

Resposta

A fatoração L = 1 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & 1 & 0 & 0 tfrac34 & 2 & 1 & 0 -tfrac14 & 0 & 1 & 1 , U = 16 & -4 & 12 & -4 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 81 é

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