Usando o método da bisseção, determine uma raiz das funções a seguir com precisão de duas casas decimais:
f(x)=\ln (x)-\operatorname{sen}(x);

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma raiz da função \;f(x)=\ln(x)-\operatorname{sen}(x)\; com precisão de duas casas decimais.
Informações dadas e relevantes:
\;f(x)=\ln(x)-\operatorname{sen}(x)\; (domínio \;x>0).
Queremos uma aproximação da raiz tal que, ao arredondar para duas casas decimais, o valor esteja correto.

Passo 2

Vou usar o método da bisseção. Ideia e fórmulas (explicação didática):
  • Precisamos de um intervalo \,[a,b] tal que \;f(a)\cdot f(b)<0\; (ou seja, sinais opostos). Isso garante existência de uma raiz por continuidade.
  • Em cada iteração calculamos o ponto médio \;m=\dfrac{a+b}{2}\; e avaliamos \;f(m). Se \;f(a)\cdot f(m)\le 0\; a raiz está em [a,m], senão está em [m,b]. Repetimos.
  • Critério de parada para garantir duas casas decimais: para que o arredondamento até 2 casas decimais seja seguro, tomo tolerância \;\text{tol}=0,005\; (assim qualquer erro menor que 0,005 não altera os dois primeiros decimais ao arredondar). Paramos quando o comprimento do intervalo \;b-a\le \text{tol}.
  • Fórmula para número mínimo de iterações necessárias:
n \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\text{tol}}\right)\right\rceil,
onde b-a é o comprimento do intervalo inicial e \lceil\cdot\rceil é o teto.

Passo 3

Escolha do intervalo inicial e verificação de sinais: testei \;x=2 e \;x=3.
f(2)=\ln(2)-\operatorname{sen}(2)\approx 0,693147-0,909297=-0,216150<0,
f(3)=\ln(3)-\operatorname{sen}(3)\approx 1,098612-0,141120=0,957492>0.
Portanto \;f(2)\cdot f(3)<0 e existe uma raiz em [2,3]. O comprimento inicial é b-a=1. Com \text{tol}=0,005 obtemos
n \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{1}{0,005}\right)\right\rceil = \left\lceil \log_{2}(200)\right\rceil \approx \left\lceil 7,6439\right\rceil=8.
Logo precisamos de, pelo menos, 8 iterações para garantir o critério.

Passo 4

Iteração 1: [a,b]=[2,3].
m_1=\frac{2+3}{2}=2,5.
Calculo
f(2,5)=\ln(2,5)-\operatorname{sen}(2,5)\approx 0,916291-0,598472=0,317819>0.
Como f(2)<0 e f(2,5)>0, a raiz está em [2,2,5].

Passo 5

Iteração 2: [a,b]=[2,2,5].
m_2=\frac{2+2,5}{2}=2,25.
Calculo
f(2,25)=\ln(2,25)-\operatorname{sen}(2,25)\approx 0,810931-0,779071=0,031860>0.
Como f(2)<0 e f(2,25)>0, a raiz está em [2,2,25].

Passo 6

Iteração 3: [a,b]=[2,2,25].
m_3=\frac{2+2,25}{2}=2,125.
Calculo (usei fórmulas de soma de ângulos para avaliar seno com mais precisão):
f(2,125)=\ln(2,125)-\operatorname{sen}(2,125)\approx 0,753772-0,850827=-0,097055<0.
Como f(2,125)<0 e f(2,25)>0, a raiz está em [2,125,2,25].

Passo 7

Iteração 4: [a,b]=[2,125,2,25].
m_4=\frac{2,125+2,25}{2}=2,1875.
Calculo (novamente usando decomposição por soma de ângulos para seno):
f(2,1875)=\ln(2,1875)-\operatorname{sen}(2,1875)\approx 0,782758-0,816290=-0,033532<0.
Logo a raiz está em [2,1875,2,25].

Passo 8

Iteração 5: [a,b]=[2,1875,2,25].
m_5=\frac{2,1875+2,25}{2}=2,21875.
Calculo:
f(2,21875)=\ln(2,21875)-\operatorname{sen}(2,21875)\approx 0,796944-0,797815=-0,000871<0.
Valor muito próximo de zero, negativo, então a raiz está em [2,21875,2,25].

Passo 9

Iteração 6: [a,b]=[2,21875,2,25].
m_6=\frac{2,21875+2,25}{2}=2,234375.
Calculo:
f(2,234375)=\ln(2,234375)-\operatorname{sen}(2,234375)\approx 0,803961-0,788283=0,015678>0.
Agora f(m_6)>0, portanto a raiz está em [2,21875,2,234375].

Passo 10

Iteração 7: [a,b]=[2,21875,2,234375].
m_7=\frac{2,21875+2,234375}{2}=2,2265625.
Calculo:
f(2,2265625)=\ln(2,2265625)-\operatorname{sen}(2,2265625)\approx 0,800453-0,793078=0,007375>0.
Logo a raiz está em [2,21875,2,2265625].

Passo 11

Iteração 8: [a,b]=[2,21875,2,2265625].
m_8=\frac{2,21875+2,2265625}{2}=2,22265625.
Calculo:
f(2,22265625)=\ln(2,22265625)-\operatorname{sen}(2,22265625)\approx 0,798699-0,795455=0,003244>0.
Portanto a raiz está em [2,21875,2,22265625]. O comprimento do intervalo é
2,22265625-2,21875=0,00390625 \le 0,005,
ou seja, atingimos a tolerância desejada.

Passo 12

Conclusão prática: após 8 iterações o intervalo que contém a raiz é [2,21875,\,2,22265625]. Tomamos o ponto médio como aproximação:
x^\star=\frac{2,21875+2,22265625}{2}=2,220703125.
Arredondando x^\star para duas casas decimais obtemos \;x\approx 2,22\;. Força final: você chegou aqui mesmo com pouco tempo — esse método é robusto e dá confiança no arredondamento.

Resposta

x\approx 2,22

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