Usando o método da bisseção, determine uma raiz das funções a seguir com precisão de duas casas decimais:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma raiz da função
com precisão de duas casas decimais.
Informações dadas e relevantes:
(domínio
).
Queremos uma aproximação da raiz tal que, ao arredondar para duas casas decimais, o valor esteja correto.
Informações dadas e relevantes:
Queremos uma aproximação da raiz tal que, ao arredondar para duas casas decimais, o valor esteja correto.
Passo 2
Vou usar o método da bisseção. Ideia e fórmulas (explicação didática):
- Precisamos de um intervalo
tal que (ou seja, sinais opostos). Isso garante existência de uma raiz por continuidade. - Em cada iteração calculamos o ponto médio
e avaliamos . Se a raiz está em , senão está em . Repetimos. - Critério de parada para garantir duas casas decimais: para que o arredondamento até 2 casas decimais seja seguro, tomo tolerância
(assim qualquer erro menor que não altera os dois primeiros decimais ao arredondar). Paramos quando o comprimento do intervalo . - Fórmula para número mínimo de iterações necessárias:
onde
é o comprimento do intervalo inicial e
é o teto.
Passo 3
Escolha do intervalo inicial e verificação de sinais: testei
e
.
Portanto
e existe uma raiz em
. O comprimento inicial é
. Com
obtemos
Logo precisamos de, pelo menos, 8 iterações para garantir o critério.
Passo 4
Iteração 1:
.
Calculo
Como
e
, a raiz está em
.
Passo 5
Iteração 2:
.
Calculo
Como
e
, a raiz está em
.
Passo 6
Iteração 3:
.
Calculo (usei fórmulas de soma de ângulos para avaliar seno com mais precisão):
Como
e
, a raiz está em
.
Passo 7
Iteração 4:
.
Calculo (novamente usando decomposição por soma de ângulos para seno):
Logo a raiz está em
.
Passo 8
Iteração 5:
.
Calculo:
Valor muito próximo de zero, negativo, então a raiz está em
.
Passo 9
Iteração 6:
.
Calculo:
Agora
, portanto a raiz está em
.
Passo 10
Iteração 7:
.
Calculo:
Logo a raiz está em
.
Passo 11
Iteração 8:
.
Calculo:
Portanto a raiz está em
. O comprimento do intervalo é
ou seja, atingimos a tolerância desejada.
Passo 12
Conclusão prática: após 8 iterações o intervalo que contém a raiz é
. Tomamos o ponto médio como aproximação:
Arredondando
para duas casas decimais obtemos
. Força final: você chegou aqui mesmo com pouco tempo — esse método é robusto e dá confiança no arredondamento.