Usando o método da bisseção, determine uma raiz das funções a seguir com a precisão \epsilon=0.01 :
f(x)=\ln (x)-\sin (x)

Passo 1

O enunciado pede: usando o método da bisseção, determinar uma raiz da função f(x)=\ln(x)-\sin(x) com precisão \epsilon=0,01.
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=\ln(x)-\sin(x).
  • Precisão desejada: \epsilon=0,01.
  • Domínio natural da função: x>0 (pois \ln(x) exige x>0).
  • Objetivo prático: encontrar um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0 (troca de sinal) e aplicar bisseção até que o erro do aproximador (meio do intervalo atual) seja \le\epsilon.

Passo 2

Breve explicação didática do método da bisseção e critério de parada (passo-a-passo conceitual).
  • Ideia básica: se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz \alpha em (a,b) (teorema do valor intermediário). A bisseção repete:
    1. calcular o ponto médio c=\dfrac{a+b}{2},
    2. avaliar f\text{(c)},
    3. substituir a por c ou b por c conforme o sinal de f\text{(c)}, de modo a manter a troca de sinal no intervalo.
  • Critério de erro: depois de n iterações, o comprimento do intervalo é \dfrac{b-a}{2^{n}} e o erro do ponto médio (distância entre o ponto médio e a raiz verdadeira) é no máximo metade desse comprimento: \text{erro} \le \frac{b-a}{2^{n+1}}.Para garantir \text{erro}\le \epsilon basta garantir \frac{b-a}{2^{n+1}}\le \epsilon \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{n+1}\ge\frac{b-a}{\epsilon}.Uma forma prática de escolher n é n\ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{2\epsilon}\right) \right\rceil,pois isso garante \dfrac{b-a}{2^{n+1}}\le\epsilon.

Passo 3

Escolha do intervalo inicial [a,b] com troca de sinal.
  • Avaliando alguns pontos: f(1)=\ln(1)-\sin(1)=0-\sin(1)\approx -0,84147\quad(\text{negativo}),
f(2)=\ln(2)-\sin(2)\approx 0,69315-0,90930\approx -0,21615\quad(\text{negativo}),
f(3)=\ln(3)-\sin(3)\approx 1,09861-0,14112\approx 0,95749\quad(\text{positivo}).
  • Conclusão: como f(2)<0 e f(3)>0, há pelo menos uma raiz em [2,3]. Então escolhemos [a_0,b_0]=[2,3].

Passo 4

Determinar número mínimo de iterações necessárias (estimativa teórica).
  • Aqui b-a=1 e \epsilon=0,01. Usando a fórmula: n\ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{1}{2\cdot 0,01}\right) \right\rceil =\left\lceil \log_{2}(50)\right\rceil.Como \log_{2}(50)\approx 5,6438, segue n\ge 6. Logo são necessárias pelo menos 6 iterações para garantir erro \le 0,01.

Passo 5

Iterações 1 e 2 (cálculos numéricos com avaliação de f). Em cada cálculo a seguir são usadas aproximações decimais de \ln e \sin (valores arredondados mostrados com precisão suficiente para decidir sinal).
Iteração 1:
  • Intervalo atual: [a,b]=[2,3].
  • Ponto médio: c_{1}=\frac{2+3}{2}=2,5.
  • Avaliar f(2,5)=\ln(2,5)-\sin(2,5). \ln(2,5)\approx 0,91629,\qquad \sin(2,5)\approx 0,59847,
f(2,5)\approx 0,91629-0,59847\approx 0,31782\\ (>0).
  • Como f(2) < 0 e f(2,5)>0, a raiz está em [2,\,2,5].
Iteração 2:
  • Novo intervalo: [a,b]=[2,2,5].
  • Ponto médio: c_{2}=\frac{2+2,5}{2}=2,25.
  • Avaliar f(2,25)=\ln(2,25)-\sin(2,25). \ln(2,25)\approx 0,81093,\qquad \sin(2,25)\approx 0,77807,
f(2,25)\approx 0,81093-0,77807\approx 0,03286\\ (>0).
  • Como f(2)<0 e f(2,25)>0, a raiz está em [2,\,2,25].

Passo 6

Iterações 3 e 4.
Iteração 3:
  • Intervalo: [a,b]=[2,2,25].
  • Ponto médio: c_{3}=\frac{2+2,25}{2}=2,125.
  • Avaliar f(2,125)=\ln(2,125)-\sin(2,125).
    • Uma maneira prática de estimar \sin(2{+}0{,}125) é usar a identidade \sin(2+x)=\sin2\cos x+\cos2\sin x com x=0,125; usando \sin2\approx0,909297 e \cos2\approx-0,416147 e \cos0,125\approx0,99220, \sin0,125\approx0,12467 obtém-se \sin(2,125)\approx0,8508.
    \ln(2,125)\approx 0,75377,\qquad \sin(2,125)\approx 0,8508,
f(2,125)\approx 0,75377-0,8508\approx -0,0970\\ (<0).
  • Como f(2,125)<0 e f(2,25)>0, a raiz está em [2,125,\,2,25].
Iteração 4:
  • Intervalo: [a,b]=[2,125,2,25].
  • Ponto médio: c_{4}=\frac{2,125+2,25}{2}=2,1875.
  • Avaliar f(2,1875)=\ln(2,1875)-\sin(2,1875). \ln(2,1875)\approx 0,78276.Estimando \sin(2,1875) (usando a mesma técnica de decomposição em 2+x com x=0,1875): \sin(2,1875)\approx 0,8159,
f(2,1875)\approx 0,78276-0,8159\approx -0,03314\\ (<0).
  • Como f(2,1875)<0 e f(2,25)>0, a raiz está em [2,1875,\,2,25].

Passo 7

Iterações 5 e 6.
Iteração 5:
  • Intervalo: [a,b]=[2,1875,2,25].
  • Ponto médio: c_{5}=\frac{2,1875+2,25}{2}=2,21875.
  • Avaliar f(2,21875)=\ln(2,21875)-\sin(2,21875). \ln(2,21875)\approx 0,79694.Estimativa de \sin(2,21875) (com x=0,21875): \sin(2,21875)\approx 0,79790,
f(2,21875)\approx 0,79694-0,79790\approx -0,00096\\ (<0).
  • Como f(2,21875)<0 e f(2,25)>0, a raiz está em [2,21875,\,2,25].
Iteração 6:
  • Intervalo: [a,b]=[2,21875,2,25].
  • Ponto médio: c_{6}=\frac{2,21875+2,25}{2}=2,234375.
  • Avaliar f(2,234375)=\ln(2,234375)-\sin(2,234375). \ln(2,234375)\approx 0,80396,\qquad \sin(2,234375)\approx 0,78780,
f(2,234375)\approx 0,80396-0,78780\approx 0,01616\\ (>0).
  • Agora f(2,21875)<0 e f(2,234375)>0, então a raiz está em [2,21875,\,2,234375].

Passo 8

Verificação do critério de parada e escolha da aproximação final.
  • Após 6 iterações o intervalo final é [a,b]=[2,21875,\,2,234375].
  • Comprimento do intervalo: b-a=2,234375-2,21875=0,015625.Metade do comprimento (erro máximo do ponto médio) é \frac{b-a}{2}=0,0078125\le 0,01=\epsilon.Portanto o critério \text{erro}\le\epsilon está satisfeito.
  • A aproximação final usual do método da bisseção é o ponto médio do intervalo final: x_{\text{aprox}}=\frac{2,21875+2,234375}{2}=2,2265625.
  • Observação sobre o sinal de f nesse ponto: uma avaliação rápida dá f(2,2265625)\approx 0,00795 (positivo) — pequeno — e está dentro do intervalo que garante erro \le0,01.

Resposta

x\approx 2,2265625

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