Usando o método da bisseção, determine uma raiz das funções a seguir com a precisão
:
Passo 1
O enunciado pede: usando o método da bisseção, determinar uma raiz da função
com precisão
.
Informações fornecidas e observações iniciais:
- A função é
. - Precisão desejada:
. - Domínio natural da função:
(pois exige ). - Objetivo prático: encontrar um intervalo
com (troca de sinal) e aplicar bisseção até que o erro do aproximador (meio do intervalo atual) seja .
Passo 2
Breve explicação didática do método da bisseção e critério de parada (passo-a-passo conceitual).
- Ideia básica: se
é contínua em e e têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em (teorema do valor intermediário). A bisseção repete: - calcular o ponto médio
, - avaliar
, - substituir
por ou por conforme o sinal de , de modo a manter a troca de sinal no intervalo.
- calcular o ponto médio
- Critério de erro: depois de
iterações, o comprimento do intervalo é e o erro do ponto médio (distância entre o ponto médio e a raiz verdadeira) é no máximo metade desse comprimento: Para garantir basta garantir Uma forma prática de escolher é pois isso garante .
Passo 3
Escolha do intervalo inicial
com troca de sinal.
- Avaliando alguns pontos:
- Conclusão: como
e , há pelo menos uma raiz em . Então escolhemos .
Passo 4
Determinar número mínimo de iterações necessárias (estimativa teórica).
- Aqui
e . Usando a fórmula: Como , segue . Logo são necessárias pelo menos iterações para garantir erro .
Passo 5
Iterações 1 e 2 (cálculos numéricos com avaliação de
). Em cada cálculo a seguir são usadas aproximações decimais de
e
(valores arredondados mostrados com precisão suficiente para decidir sinal).
Iteração 1:
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliar
.
- Como
e , a raiz está em .
Iteração 2:
- Novo intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliar
.
- Como
e , a raiz está em .
Passo 6
Iterações 3 e 4.
Iteração 3:
- Intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliar
. - Uma maneira prática de estimar
é usar a identidade com ; usando e e , obtém-se .
- Uma maneira prática de estimar
- Como
e , a raiz está em .
Iteração 4:
- Intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliar
. Estimando (usando a mesma técnica de decomposição em com ):
- Como
e , a raiz está em .
Passo 7
Iterações 5 e 6.
Iteração 5:
- Intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliar
. Estimativa de (com ):
- Como
e , a raiz está em .
Iteração 6:
- Intervalo:
. - Ponto médio:
- Avaliar
.
- Agora
e , então a raiz está em .
Passo 8
Verificação do critério de parada e escolha da aproximação final.
- Após
iterações o intervalo final é . - Comprimento do intervalo:
Metade do comprimento (erro máximo do ponto médio) é Portanto o critério está satisfeito. - A aproximação final usual do método da bisseção é o ponto médio do intervalo final:
- Observação sobre o sinal de
nesse ponto: uma avaliação rápida dá (positivo) — pequeno — e está dentro do intervalo que garante erro .