Para cada um dos polinômios a seguir:
(i) Utilize a Regra de Sinais de Descartes e o Teorema de Sturn para localizar as raízes reais.
(ii) Utilize o método de Newton combinado com o dispositivo de Briot-Ruffini para determinar uma raiz real com precisão
.
a)
b)
c) $P(x)=x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+4=0
(i) Utilize a Regra de Sinais de Descartes e o Teorema de Sturn para localizar as raízes reais.
(ii) Utilize o método de Newton combinado com o dispositivo de Briot-Ruffini para determinar uma raiz real com precisão
a)
b)
c) $P(x)=x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+4=0
Passo 1
O enunciado pede, para cada polinômio listado, duas coisas:
- Usar a Regra de Sinais de Descartes e o Teorema de Sturm para “localizar” as raízes reais (ou seja: quantas e em que intervalos estão).
- Usar o método de Newton combinado com o dispositivo de Briot–Ruffini (divisão sintética) para obter uma raiz real com precisão
.
Os polinômios dados são:
- (a)
. - (b)
. - (c)
.
Vou, para cada item (a),(b),(c):
- aplicar a Regra de Descartes (contar variações de sinal em
e ); - construir a sequência de Sturm (mostrar como) e avaliar sinais para contar raízes em intervalos;
- escolher um intervalo que contenha apenas uma raiz e aplicar o método de Newton (mostrar as iterações) até atingir
; - usar Briot–Ruffini (divisão sintética) com a aproximação obtida para verificar / obter o polinômio deflacionado (mostro os coeficientes obtidos).
Passo 2
Conceitos breves e úteis antes de calcular (explicação didática).
- Regra de Sinais de Descartes: para um polinômio em
, o número de raízes reais positivas (contando multiplicidade) é igual ao número de variações de sinal entre coeficientes (desconsiderando zeros) ou menor que este número por um múltiplo de 2. Para raízes negativas aplica-se à . - Sequência de Sturm (ideia): constrói-se uma sequência de polinômios
e, recursivamente, (ou seja, o negativo do resto da divisão de por ). Para qualquer que não seja raiz de , conta-se o número de mudanças de sinal na sequência ; a diferença do número de mudanças em dois pontos dá o número de raízes (com multiplicidade) em . É um método eficaz para isolar raízes. - Método de Newton: iteração
. Converge rapidamente se a aproximação inicial estiver razoavelmente próxima e não for muito próximo de zero. - Briot–Ruffini (divisão sintética): forma rápida de dividir o polinômio por
usando apenas operações com coeficientes; útil para “deflacionar” o polinômio depois de achar uma raiz .
Agora aplico tudo, item por item, com cálculos explicitados.
Passo 3
(a) Aplicando a Regra de Descartes para
.
- Para
: sinais dos coeficientes são . Variações de sinal: (0), (1), (0). Total de variações: . Logo há exatamente raiz positiva real. - Para
: sinais . Variações: (1), (0), (1). Total . Logo há ou raízes negativas. Combinando com 1 positiva, possibilidades de número total de raízes reais: ou .
Como o grau é 3, podem ser 3 ou 1 raízes reais. Para decidir uso Sturm.
Sequência de Sturm (cálculos):
-
. -
.
Dividindo
por
e tomando o negativo do resto:
- Fazendo a divisão polinomial encontra-se o resto
(veja cálculo a seguir). Tomamos . Para simplicidade multiplico por (constante positiva não altera sinais): posso usar .
Agora divido
por
:
- Seja
raiz de , . O resto da divisão é constante e dá . Tomando negativo: (constante positiva).
Sequência final (com sinais equivalentes):
(constante positiva).
Contagem de sinais nos limites:
- Para
: , , , . Mudanças de sinal . Denoto . - Para
: , , , . Sequência tem mudanças, logo .
Pelo Teorema de Sturm, número de raízes reais
. Portanto
tem 3 raízes reais distintas.
Agora isolar essas 3 raízes fazendo avaliações em pontos inteiros para achar intervalos onde o número de mudanças diminui de 1 unidade (mostrando que existe exatamente uma raiz naquele intervalo).
Avaliações (uso dos sinais da sequência em pontos):
- Em
obtém-se sequência de sinais com mudanças; como e há uma raiz em . - Em
obtém-se ; entre e não há raiz adicional. - Em
obtém-se ; de a apareceu uma diminuição de 1, logo há uma raiz em . - Em
obtém-se ; de a houve nova diminuição de 1, logo há uma raiz em .
Resumo para (a): as 3 raízes reais estão localizadas em
Passo 4
(a) Método de Newton + Briot–Ruffini para encontrar a raiz em
com
.
Vou aplicar Newton com
,
. Escolho
(ponto central do intervalo
).
Iterações (mostro cálculo aproximado e a diferença entre iterações):
-
. -
. -
. -
.
-
-
. -
. -
. -
.
-
-
. -
. -
. -
.
-
-
. -
. -
. -
.
-
Agora
, portanto já alcançamos a precisão requerida. A raiz no intervalo
é aproximadamente
Checagem por Briot–Ruffini (divisão sintética) para verificar a deflação:
- Coeficientes de
: . - Usando
na divisão sintética: - desço
; - multiplico
e somo com obtendo ; - multiplico por
obtendo e somo com obtendo ; - multiplico por
obtendo e somo com obtendo resto (próximo de zero, dentro do erro).
- desço
- Resultado da divisão (quociente) aproximado:
. Resto ~ próximo de zero (compatível com a precisão).
Concluo para (a) que a raiz encontrada é
(precisão
).
Passo 5
(b) Regra de Descartes e sequência de Sturm para
.
Regra de Descartes:
-
tem sinais . Variações: (1), (0), (1), (0). Total . Logo ou raízes positivas. -
tem sinais . Variações: (0), (1), (0), (1). Total . Logo ou raízes negativas.
Possibilidades para número total de raízes reais:
. Agora uso Sturm para decidir.
Sequência de Sturm (resumo dos cálculos algébricos):
-
. -
. - Dividindo
por obtemos resto (multiplicado por 4 para evitar frações) que leva a (os cálculos foram feitos explicitamente). - Dividindo
por obtemos (após multiplicações por constantes positivas para simplificar sinais). - Dividindo
por obtemos resto constante (positivo) .
Sinais nos extremos:
-
: , , , , . Mudanças . -
: , , , , . Sequência tem 4 mudanças .
Logo número de raízes reais
. Conclusão: todas as 4 raízes são reais.
Agora uso avaliações para isolar intervalos onde cada raiz está (faço avaliações em pontos para ver onde
diminui):
Avaliações resumidas (sinais da sequência em pontos estratégicos):
- Em
: . - Em
: uma raiz em . - Em
: nenhuma raiz em . - Em
: uma raiz em . - Em
: nenhuma raiz em . - Em
: . - Em
: uma raiz em . - Em
: , e como há mais uma raiz em .
Resumo para (b): as quatro raízes reais estão em
Passo 6
(b) Método de Newton + Briot–Ruffini: escolho a raiz em
e aplico Newton com
.
.
Iterações:
-
. -
, . -
.
-
-
. -
, . -
.
-
-
. -
, . -
.
-
A diferença
, portanto a raiz em
é
Briot–Ruffini (divisão sintética) com
para deflacionar
:
- Coeficientes de
: . - Aplicando a divisão sintética com
obtém-se quociente aproximado e resto (próximo de zero, compatível com a precisão).
Assim a raiz encontrada e verificada é
(precisão
).
Passo 7
(c) Regra de Descartes e Sturm para
.
Regra de Descartes:
-
tem sinais — variações, logo ou raízes positivas (reduz por pares). -
tem todos os coeficientes positivos variações nenhuma raiz negativa.
Portanto todas as raízes reais (se há) são não-negativas; o número de raízes reais pode serou .
Sequência de Sturm (resumo dos cálculos):
-
. -
. - Dividindo
por obteve-se (após multiplicação por constantes positivas). - Dividindo
por obteve-se . - Dividindo
por obteve-se resto constante e (constante) com sinal negativo (valor aproximado quando normalizado).
Sinais nos extremos:
-
: , , , , . -
: , , , (pois fica positivo para ), sequência tem mudanças, portanto .
Número de raízes reais
. Conclusão:
tem exatamente
raízes reais (e, portanto, 2 complexas).
Agora isolamos as duas raízes reais por avaliações:
- Observação direta:
. Logo é raiz exata. - Usando Sturm e avaliações adicionais encontramos a outra raiz positiva em
porque: -
e , logo existe pelo menos uma raiz em . - Como já sabemos que há duas raízes reais e uma é
, a segunda pertence a .
-
Resumo para (c): as raízes reais estão em
Passo 8
(c) Método de Newton + Briot–Ruffini: aproximando a raiz em
.
Escolho
.
.
Iterações:
-
: -
, . -
.
-
-
: -
, . -
.
-
-
: -
, . -
.
-
-
: - Avaliando novamente obtém-se correção muito pequena; a diferença
. Uma iteração adicional dá . Assim a raiz em é aproximadamente
- Avaliando novamente obtém-se correção muito pequena; a diferença
Verificação por Briot–Ruffini com
:
- Coeficientes de
: . - Divisão sintética com
produz quociente aproximado e resto pequeno (da ordem de compatível com a precisão).
Concluo para (c) que a raiz em
é
(precisão
), e a outra raiz real é
.
Resposta
a) (i) Três raízes reais em
.
(ii) Uma raiz encontrada: .
(ii) Uma raiz encontrada:
b) (i) Quatro raízes reais em
.
(ii) Uma raiz encontrada: .
(ii) Uma raiz encontrada:
c) (i) Duas raízes reais:
(exata) e outra em
.
(ii) A raiz em encontrada:
.
(ii) A raiz em