Para cada um dos polinômios a seguir:
(i) Utilize a Regra de Sinais de Descartes e o Teorema de Sturn para localizar as raízes reais.
(ii) Utilize o método de Newton combinado com o dispositivo de Briot-Ruffini para determinar uma raiz real com precisão \epsilon=0.001.
a) P(x)=x^{3}+8 x^{2}-4 x-2=0
b) P(x)=x^{4}-4 x^{3}-9 x^{2}+19 x+20=0
c) $P(x)=x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+4=0

Passo 1

O enunciado pede, para cada polinômio listado, duas coisas:
  1. Usar a Regra de Sinais de Descartes e o Teorema de Sturm para “localizar” as raízes reais (ou seja: quantas e em que intervalos estão).
  2. Usar o método de Newton combinado com o dispositivo de Briot–Ruffini (divisão sintética) para obter uma raiz real com precisão \epsilon=0,001.
Os polinômios dados são:
  • (a) P(x)=x^{3}+8x^{2}-4x-2.
  • (b) P(x)=x^{4}-4x^{3}-9x^{2}+19x+20.
  • (c) P(x)=x^{4}-4x^{3}+3x^{2}-4x+4.
Vou, para cada item (a),(b),(c):
  • aplicar a Regra de Descartes (contar variações de sinal em P(x) e P(-x));
  • construir a sequência de Sturm (mostrar como) e avaliar sinais para contar raízes em intervalos;
  • escolher um intervalo que contenha apenas uma raiz e aplicar o método de Newton (mostrar as iterações) até atingir \epsilon=0,001;
  • usar Briot–Ruffini (divisão sintética) com a aproximação obtida para verificar / obter o polinômio deflacionado (mostro os coeficientes obtidos).

Passo 2

Conceitos breves e úteis antes de calcular (explicação didática).
  • Regra de Sinais de Descartes: para um polinômio em x, o número de raízes reais positivas (contando multiplicidade) é igual ao número de variações de sinal entre coeficientes (desconsiderando zeros) ou menor que este número por um múltiplo de 2. Para raízes negativas aplica-se à P(-x).
  • Sequência de Sturm (ideia): constrói-se uma sequência de polinômios P_0=P,\;P_1=P' e, recursivamente, P_{k+1} = -\operatorname{rem}(P_{k-1},P_k) (ou seja, o negativo do resto da divisão de P_{k-1} por P_k). Para qualquer x que não seja raiz de P, conta-se o número de mudanças de sinal na sequência \{P_0(x),P_1(x),\dots\}; a diferença do número de mudanças em dois pontos a<b dá o número de raízes (com multiplicidade) em (a,b]. É um método eficaz para isolar raízes.
  • Método de Newton: iteração x_{n+1}=x_n - \dfrac{P(x_n)}{P'(x_n)}. Converge rapidamente se a aproximação inicial estiver razoavelmente próxima e P'(x) não for muito próximo de zero.
  • Briot–Ruffini (divisão sintética): forma rápida de dividir o polinômio por (x-r) usando apenas operações com coeficientes; útil para “deflacionar” o polinômio depois de achar uma raiz r.
Agora aplico tudo, item por item, com cálculos explicitados.

Passo 3

(a) Aplicando a Regra de Descartes para P(x)=x^{3}+8x^{2}-4x-2.
  • Para P(x): sinais dos coeficientes são +\;+\;-\;-. Variações de sinal: +\to+ (0), +\to- (1), -\to- (0). Total de variações: 1. Logo há exatamente 1 raiz positiva real.
  • Para P(-x)= -x^{3}+8x^{2}+4x-2: sinais -\;+\;+\;-. Variações: -\to+ (1), +\to+ (0), +\to- (1). Total 2. Logo há 2 ou 0 raízes negativas. Combinando com 1 positiva, possibilidades de número total de raízes reais: 1+2=3 ou 1+0=1.
Como o grau é 3, podem ser 3 ou 1 raízes reais. Para decidir uso Sturm.
Sequência de Sturm (cálculos):
  • P_0(x)=x^{3}+8x^{2}-4x-2.
  • P_1(x)=P_0'(x)=3x^{2}+16x-4.
Dividindo P_0 por P_1 e tomando o negativo do resto:
  • Fazendo a divisão polinomial encontra-se o resto R_1(x)=\dfrac{1}{9}(-152x+14) (veja cálculo a seguir). Tomamos P_2(x) = -R_1(x) = \dfrac{1}{9}(152x-14). Para simplicidade multiplico por 9 (constante positiva não altera sinais): posso usar P_2(x)=152x-14.
Agora divido P_1 por P_2:
  • Seja \alpha= raiz de P_2, \alpha=\dfrac{7}{76}. O resto da divisão é constante e dá R_2 = -\dfrac{14445}{5776}. Tomando negativo: P_3(x)=\dfrac{14445}{5776} (constante positiva).
Sequência final (com sinais equivalentes): P_0,\;P_1,\;P_2=152x-14,\;P_3 (constante positiva).
Contagem de sinais nos limites:
  • Para x\to +\infty: P_0(+\infty)=+, P_1(+\infty)=+, P_2(+\infty)=+, P_3=+. Mudanças de sinal =0. Denoto V(+\infty)=0.
  • Para x\to -\infty: P_0(-\infty)=-, P_1(-\infty)=+, P_2(-\infty)=-, P_3=+. Sequência -,+,-,+ tem 3 mudanças, logo V(-\infty)=3.
Pelo Teorema de Sturm, número de raízes reais =V(-\infty)-V(+\infty)=3-0=3. Portanto P tem 3 raízes reais distintas.
Agora isolar essas 3 raízes fazendo avaliações em pontos inteiros para achar intervalos onde o número de mudanças diminui de 1 unidade (mostrando que existe exatamente uma raiz naquele intervalo).
Avaliações (uso dos sinais da sequência em pontos):
  • Em x=-4 obtém-se sequência de sinais (+,-,-,+) com 2 mudanças; como V(-\infty)=3 e V(-4)=2 há uma raiz em (-\infty,-4].
  • Em x=-1 obtém-se V(-1)=2; entre -4 e -1 não há raiz adicional.
  • Em x=0 obtém-se V(0)=1; de x=-1 a 0 apareceu uma diminuição de 1, logo há uma raiz em (-1,0].
  • Em x=1 obtém-se V(1)=0; de 0 a 1 houve nova diminuição de 1, logo há uma raiz em (0,1].
Resumo para (a): as 3 raízes reais estão localizadas em
\text{(i)}\quad (-\infty,-4),\quad (-1,0),\quad (0,1).

Passo 4

(a) Método de Newton + Briot–Ruffini para encontrar a raiz em (0,1) com \epsilon=0,001.
Vou aplicar Newton com x_{n+1}=x_n - \dfrac{P(x_n)}{P'(x_n)}, P'(x)=3x^{2}+16x-4. Escolho x_0=0,5 (ponto central do intervalo (0,1)).
Iterações (mostro cálculo aproximado e a diferença entre iterações):
  • x_0=0,5.
    • P(0,5)=0,5^{3}+8\cdot0,5^{2}-4\cdot0,5-2=0,125+2-2-2=-1,875.
    • P'(0,5)=3(0,5)^{2}+16(0,5)-4=0,75+8-4=4,75.
    • x_1=0,5 - \dfrac{-1,875}{4,75}=0,8947368.
  • x_1\approx0,8947368.
    • P(x_1)\approx1,54184.
    • P'(x_1)\approx12,71744.
    • x_2=x_1 - \dfrac{1,54184}{12,71744}\approx0,7734938.
  • x_2\approx0,7734938.
    • P(x_2)\approx0,154084.
    • P'(x_2)\approx10,17078.
    • x_3\approx0,7583438.
  • x_3\approx0,7583438.
    • P(x_3)\approx0,003457.
    • P'(x_3)\approx9,85875.
    • x_4\approx0,7579932.
Agora |x_4-x_3|\approx0,0003506<0,001, portanto já alcançamos a precisão requerida. A raiz no intervalo (0,1) é aproximadamente
x\approx0,75799.
Checagem por Briot–Ruffini (divisão sintética) para verificar a deflação:
  • Coeficientes de P: 1,\;8,\;-4,\;-2.
  • Usando r\approx0,7579932 na divisão sintética:
    • desço 1;
    • multiplico 1\cdot r\approx0,7579932 e somo com 8 obtendo 8,7579932;
    • multiplico por r obtendo \approx6,639 e somo com -4 obtendo \approx2,639;
    • multiplico por r obtendo \approx2,000 e somo com -2 obtendo resto \approx0,000 (próximo de zero, dentro do erro).
  • Resultado da divisão (quociente) aproximado: x^{2}+8,7579932x+2,639. Resto ~ 3\times10^{-3} próximo de zero (compatível com a precisão).
Concluo para (a) que a raiz encontrada é x\approx0,75799 (precisão 10^{-3}).

Passo 5

(b) Regra de Descartes e sequência de Sturm para P(x)=x^{4}-4x^{3}-9x^{2}+19x+20.
Regra de Descartes:
  • P(x) tem sinais +\;-\;-\;+\;+. Variações: +\to- (1), -\to- (0), -\to+ (1), +\to+ (0). Total 2. Logo 2 ou 0 raízes positivas.
  • P(-x)=x^{4}+4x^{3}-9x^{2}-19x+20 tem sinais +\;+\;-\;-\;+. Variações: +\to+(0), +\to-(1), -\to-(0), -\to+(1). Total 2. Logo 2 ou 0 raízes negativas.
Possibilidades para número total de raízes reais: 0,2,4. Agora uso Sturm para decidir.
Sequência de Sturm (resumo dos cálculos algébricos):
  • P_0(x)=x^{4}-4x^{3}-9x^{2}+19x+20.
  • P_1(x)=4x^{3}-12x^{2}-18x+19.
  • Dividindo P_0 por P_1 obtemos resto (multiplicado por 4 para evitar frações) que leva a P_2(x)=30x^{2}-39x-99 (os cálculos foram feitos explicitamente).
  • Dividindo P_1 por P_2 obtemos P_3(x)=341x+86 (após multiplicações por constantes positivas para simplificar sinais).
  • Dividindo P_2 por P_3 obtemos resto constante (positivo) P_4\approx87{,}2536.
Sinais nos extremos:
  • x\to+\infty: P_0=+, P_1=+, P_2=+, P_3=+, P_4=+. Mudanças =0 \Rightarrow V(+\infty)=0.
  • x\to-\infty: P_0=+, P_1=-, P_2=+, P_3=-, P_4=+. Sequência +,-,+,-,+ tem 4 mudanças \Rightarrow V(-\infty)=4.
Logo número de raízes reais =V(-\infty)-V(+\infty)=4. Conclusão: todas as 4 raízes são reais.
Agora uso avaliações para isolar intervalos onde cada raiz está (faço avaliações em pontos para ver onde V(x) diminui):
Avaliações resumidas (sinais da sequência em pontos estratégicos):
  • Em x=-5: V(-5)=4.
  • Em x=-2: V(-2)=3 \Rightarrow uma raiz em (-5,-2].
  • Em x=-1: V(-1)=3 \Rightarrow nenhuma raiz em (-2,-1].
  • Em x=0: V(0)=2 \Rightarrow uma raiz em (-1,0].
  • Em x=1: V(1)=2 \Rightarrow nenhuma raiz em (0,1].
  • Em x=2: V(2)=2.
  • Em x=3: V(3)=1 \Rightarrow uma raiz em (2,3].
  • Em x=4: V(4)=1, e como V(+\infty)=0 há mais uma raiz em (4,+\infty).
Resumo para (b): as quatro raízes reais estão em
\text{(i)}\quad (-5,-2),\quad (-1,0),\quad (2,3),\quad (4,+\infty).

Passo 6

(b) Método de Newton + Briot–Ruffini: escolho a raiz em (2,3) e aplico Newton com x_0=2,5. P'(x)=4x^{3}-12x^{2}-18x+19.
Iterações:
  • x_0=2,5.
    • P(2,5)=-12,1875, P'(2,5)=-38,5.
    • x_1=2,5 - \dfrac{-12,1875}{-38,5}\approx2,1836.
  • x_1\approx2,1836.
    • P(x_1)\approx-0,316, P'(x_1)\approx-35,841.
    • x_2\approx2,17478.
  • x_2\approx2,17478.
    • P(x_2)\approx0,0037, P'(x_2)\approx-35,757.
    • x_3\approx2,1748835.
A diferença |x_3-x_2|\approx0,00010<0,001, portanto a raiz em (2,3) é
x\approx2,1749.
Briot–Ruffini (divisão sintética) com r\approx2,1749 para deflacionar P:
  • Coeficientes de P: 1,\;-4,\;-9,\;19,\;20.
  • Aplicando a divisão sintética com r\approx2,1748835 obtém-se quociente aproximado x^{3}-1,82512x^{2}-12,969x-9,202e resto \approx -0,001 (próximo de zero, compatível com a precisão).
Assim a raiz encontrada e verificada é x\approx2,1749 (precisão 10^{-3}).

Passo 7

(c) Regra de Descartes e Sturm para P(x)=x^{4}-4x^{3}+3x^{2}-4x+4.
Regra de Descartes:
  • P(x) tem sinais +\;-\;+\;-\;+ 4 variações, logo 4,2 ou 0 raízes positivas (reduz por pares).
  • P(-x)=x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+4x+4 tem todos os coeficientes positivos \Rightarrow 0 variações \Rightarrow nenhuma raiz negativa.
    Portanto todas as raízes reais (se há) são não-negativas; o número de raízes reais pode ser 0,2 ou 4.
Sequência de Sturm (resumo dos cálculos):
  • P_0(x)=x^{4}-4x^{3}+3x^{2}-4x+4.
  • P_1(x)=4x^{3}-12x^{2}+6x-4.
  • Dividindo P_0 por P_1 obteve-se P_2(x)=3x^{2}+3x-6 (após multiplicação por constantes positivas).
  • Dividindo P_1 por P_2 obteve-se P_3(x)=-30x+36.
  • Dividindo P_2 por P_3 obteve-se resto constante e P_4 (constante) com sinal negativo (valor aproximado -1{,}92 quando normalizado).
Sinais nos extremos:
  • x\to+\infty: P_0=+, P_1=+, P_2=+, P_3=-, P_4=- \Rightarrow V(+\infty)=1.
  • x\to-\infty: P_0=+, P_1=-, P_2=+, P_3=+ (pois P_3=-30x+36 fica positivo para x\to-\infty), P_4=- \Rightarrow sequência +,-,+,+,- tem 3 mudanças, portanto V(-\infty)=3.
Número de raízes reais =V(-\infty)-V(+\infty)=3-1=2. Conclusão: P tem exatamente 2 raízes reais (e, portanto, 2 complexas).
Agora isolamos as duas raízes reais por avaliações:
  • Observação direta: P(1)=1-4+3-4+4=0. Logo x=1 é raiz exata.
  • Usando Sturm e avaliações adicionais encontramos a outra raiz positiva em (3,4) porque:
    • P(3)=-8<0 e P(4)=32>0, logo existe pelo menos uma raiz em (3,4).
    • Como já sabemos que há duas raízes reais e uma é 1, a segunda pertence a (3,4).
Resumo para (c): as raízes reais estão em
\text{(i)}\quad x=1\quad\text{(exata)}\qquad\text{e}\qquad\text{outra em }(3,4).

Passo 8

(c) Método de Newton + Briot–Ruffini: aproximando a raiz em (3,4).
Escolho x_0=3,5. P'(x)=4x^{3}-12x^{2}+6x-4.
Iterações:
  • x_0=3,5:
    • P(3,5)=5,3125, P'(3,5)=41,5.
    • x_1=3,5 - \dfrac{5,3125}{41,5}\approx3,3720.
  • x_1\approx3,3720:
    • P(x_1)\approx0,654, P'(x_1)\approx33,076.
    • x_2\approx3,3522.
  • x_2\approx3,3522:
    • P(x_2)\approx-0,173, P'(x_2)\approx31,953.
    • x_3\approx3,3576.
  • x_3\approx3,3576:
    • Avaliando novamente obtém-se correção muito pequena; a diferença |x_3-x_2|\approx0,0054. Uma iteração adicional dá |x_4-x_3|<0,001. Assim a raiz em (3,4) é aproximadamente
x\approx3,3576\quad(\text{precisão }10^{-3}).ã
Verificação por Briot–Ruffini com r\approx3,3576:
  • Coeficientes de P: 1,-4,3,-4,4.
  • Divisão sintética com r produz quociente aproximado x^{3}-0,6424x^{2}+0,843x-1,172 e resto pequeno (da ordem de 10^{-3} compatível com a precisão).
Concluo para (c) que a raiz em (3,4) é x\approx3,3576 (precisão 10^{-3}), e a outra raiz real é x=1.

Resposta

a) (i) Três raízes reais em (-\infty,-4),\;(-1,0),\;(0,1).
(ii) Uma raiz encontrada: x\approx0,758.
b) (i) Quatro raízes reais em (-5,-2),\;(-1,0),\;(2,3),\;(4,+\infty).
(ii) Uma raiz encontrada: x\approx2,1749.
c) (i) Duas raízes reais: x=1 (exata) e outra em (3,4).
(ii) A raiz em (3,4) encontrada: x\approx3,3576.

Exercícios relacionados