Usando o método da bisseção encontre a raiz da função f(x)=x^{2}+\ln (x), contida no intervalo [0.5,1], com erro \leq 10^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede: usar o método da bisseção para encontrar a raiz da função f(x)=x^{2}+\ln(x) no intervalo [0,5,1] com erro \leq 10^{-1}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}+\ln(x).
  • Intervalo inicial é [0,5,1].
  • Tolerância (erro máximo permitido) é 10^{-1} (ou seja, 0,1).

Passo 2

O que é o método da bisseção (explicação didática):
  • Requisito: a função deve ser contínua no intervalo e ter sinais opostos nas extremidades; assim existe pelo menos uma raiz por Bolzano.
  • Procedimento: calcular o ponto médio do intervalo, avaliar a função nesse ponto e escolher a subintervalo onde ocorre a troca de sinal; repetir até que a aproximação tenha o erro desejado.
  • Cota de erro: se o intervalo inicial tem comprimento L_{0}=b-a, após n iterações o comprimento do intervalo atual é L_{n}=L_{0}/2^{n}. Se tomamos como aproximação o ponto médio do intervalo atual, a distância máxima da aproximação à raiz verdadeira é no máximo metade do comprimento do intervalo atual, ou seja
\text{erro máximo} \le \frac{L_{n}}{2}=\frac{L_{0}}{2^{n+1}}.á
  • Para garantir um erro \le \text{tol} basta escolher n tal que
\frac{L_{0}}{2^{n+1}}\le \text{tol}.

Passo 3

Verificação da condição inicial (troca de sinais nas extremidades):
  • Calcular f nas extremidades: f(0,5)=(0,5)^{2}+\ln(0,5)=0,25+\ln(0,5)\approx 0,25-0,693147\approx -0,443147.
f(1)=1^{2}+\ln(1)=1+0=1.
  • Conclusão: f(0,5)\approx-0,443147<0 e f(1)=1>0. Como há troca de sinal, existe pelo menos uma raiz em [0,5,1] e podemos aplicar a bisseção.

Passo 4

Determinar o número mínimo de iterações necessário para a tolerância pedida:
  • Aqui L_{0}=1-0,5=0,5 e \text{tol}=0,1. Usando a cota,
\frac{L_{0}}{2^{n+1}}\le 0,1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{0,5}{2^{n+1}}\le 0,1.
  • Rearranjando,
2^{n+1}\ge \frac{0,5}{0,1}=5.
  • Como 2^{2}=4<5 e 2^{3}=8\ge5, então n+1\ge 3 e n\ge 2. Portanto são necessárias pelo menos n=2 iterações (duas bisseções) para garantir erro \le 0,1.

Passo 5

Primeira iteração (número 1):
  • Ponto médio do intervalo [0,5,1]:
c_{1}=\frac{0,5+1}{2}=0,75.
  • Avaliar f em c_{1}:
f(0,75)=(0,75)^{2}+\ln(0,75)=0,5625+\ln(0,75)\approx 0,5625-0,287682\approx 0,274818.
  • Sinais: f(0,5)<0 e f(0,75)>0. A mudança de sinal está em [0,5,0,75]. Novo intervalo escolhido:
[0,5,0,75].

Passo 6

Segunda iteração (número 2):
  • Ponto médio do novo intervalo [0,5,0,75]:
c_{2}=\frac{0,5+0,75}{2}=0,625.
  • Avaliar f em c_{2}:
f(0,625)=(0,625)^{2}+\ln(0,625)=0,390625+\ln(0,625)\approx 0,390625-0,470004\approx -0,079379.
  • Sinais: f(0,625)<0 e f(0,75)>0. A raiz está em [0,625,0,75].

Passo 7

Construir a aproximação final e verificar a cota de erro:
  • Após n=2 iterações o intervalo atual é [0,625,0,75] com comprimento
L_{2}=0,75-0,625=0,125.
  • Tomamos como aproximação o ponto médio do intervalo atual:
x_{\text{aprox}}=\frac{0,625+0,75}{2}=0,6875.
  • A cota de erro pela fórmula da bisseção é
\frac{L_{2}}{2}=\frac{0,125}{2}=0,0625,
que satisfaz \,0,0625\le 0,1. Logo a aproximação atende à tolerância exigida.
  • (Opcional de verificação) Avaliando f no ponto aproximado:
f(0,6875)\approx (0,6875)^{2}+\ln(0,6875)\approx 0,472656-0,374693\approx 0,097963,
o que está próximo de zero considerando a margem de erro do método.

Resposta

x\approx 0,6875

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