Usando o método da bisseção encontre a raiz da função
, contida no intervalo
, com erro
.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método da bisseção para encontrar a raiz da função
no intervalo
com erro
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Intervalo inicial é
. - Tolerância (erro máximo permitido) é
(ou seja, ).
Passo 2
O que é o método da bisseção (explicação didática):
- Requisito: a função deve ser contínua no intervalo e ter sinais opostos nas extremidades; assim existe pelo menos uma raiz por Bolzano.
- Procedimento: calcular o ponto médio do intervalo, avaliar a função nesse ponto e escolher a subintervalo onde ocorre a troca de sinal; repetir até que a aproximação tenha o erro desejado.
- Cota de erro: se o intervalo inicial tem comprimento
, após iterações o comprimento do intervalo atual é . Se tomamos como aproximação o ponto médio do intervalo atual, a distância máxima da aproximação à raiz verdadeira é no máximo metade do comprimento do intervalo atual, ou seja
- Para garantir um erro
basta escolher tal que
Passo 3
Verificação da condição inicial (troca de sinais nas extremidades):
- Calcular
nas extremidades:
- Conclusão:
e . Como há troca de sinal, existe pelo menos uma raiz em e podemos aplicar a bisseção.
Passo 4
Determinar o número mínimo de iterações necessário para a tolerância pedida:
- Aqui
e . Usando a cota,
- Rearranjando,
- Como
e , então e . Portanto são necessárias pelo menos iterações (duas bisseções) para garantir erro .
Passo 5
Primeira iteração (número 1):
- Ponto médio do intervalo
:
- Avaliar
em :
- Sinais:
e . A mudança de sinal está em . Novo intervalo escolhido:
Passo 6
Segunda iteração (número 2):
- Ponto médio do novo intervalo
:
- Avaliar
em :
- Sinais:
e . A raiz está em .
Passo 7
Construir a aproximação final e verificar a cota de erro:
- Após
iterações o intervalo atual é com comprimento
- Tomamos como aproximação o ponto médio do intervalo atual:
- A cota de erro pela fórmula da bisseção é
que satisfaz
. Logo a aproximação atende à tolerância exigida.
- (Opcional de verificação) Avaliando
no ponto aproximado:
o que está próximo de zero considerando a margem de erro do método.