Usando o método de Newton, resolva as equações a seguir considerando erro \leq 10^{-3} :
x^{2}-\sin (x)=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se resolver a equação \;x^{2}-\sin(x)=0\; usando o método de Newton até que o erro seja \leq 10^{-3}.
  • Informação dada: a função implícita da equação é \;f(x)=x^{2}-\sin(x)\;.
  • O critério de parada que vou usar é o mais usual: a diferença entre duas iterações sucessivas em valor de x ser menor ou igual a \;10^{-3}; isto é, parar quando \;|x_{n+1}-x_n|\le 10^{-3}.
  • Objetivo prático aqui: encontrar todas as raízes reais (se houver mais de uma) dentro da precisão pedida.

Passo 2

Breve aula sobre o método de Newton (fórmula e interpretação) — sem pular etapas.
  • Ideia: dada uma função \;f(x)\; com derivada \;f'(x), o método de Newton gera uma sequência \{x_n\} por
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • O raciocínio geométrico: em cada x_n aproximamos f por sua reta tangente e usamos a interseção dessa reta com o eixo x como aproximação seguinte.
  • Para aplicar precisamos:
    • conhecer explicitamente f(x) e f'(x),
    • escolher uma aproximação inicial x_0,
    • calcular iterações até o critério de parada.
  • Aqui:
f(x)=x^{2}-\sin(x), \qquad f'(x)=2x-\cos(x).
  • Significado das variáveis:
    • \;x_n\; é a aproximação corrente da raiz,
    • \;f(x_n)\; é o valor da função nessa aproximação (quanto ainda falta zerar),
    • \;f'(x_n)\; é a inclinação da função naquele ponto (importante para o passo).
  • Observação prática: o método converge rápido quando f'(x) não é muito pequeno e quando a aproximação inicial está razoavelmente perto da raiz.

Passo 3

Identificação das raízes candidatas (inspeção rápida da função).
  • Note que \;f(0)=0^2-\sin(0)=0. Logo \;x=0\; é uma raíz exata.
  • Para procurar outras raízes, observe que \sin(x)\in[-1,1]. Para |x|>1 tem-se x^2>1 e então x^2-\sin(x)>0 sempre; assim quaisquer raízes devem satisfazer |x|\le 1.
  • Calculando alguns valores para achar mudanças de sinal:
    • \;f(0,5)=0,25-\sin(0,5)\approx 0,25-0,4794\approx -0,2294 (negativo);
    • \;f(1)=1-\sin(1)\approx 1-0,8415\approx 0,1585 (positivo).
  • Como f(0,5)<0 e f(1)>0, existe pelo menos uma raiz no intervalo (0{,}5,1). Como já temos a raiz 0, concluímos que há outra raiz positiva em (0{,}5,1). Não há raiz negativa além de 0 (para x<0, \sin(x)\le 0 então x^2-\sin(x)=x^2+|\sin x|>0 salvo em x=0).

Passo 4

Decidindo aproximações iniciais e critério numérico.
  • Para a raiz trivial, x=0, já sabemos que é solução exata; não precisamos iterar.
  • Para a segunda raiz positiva, escolhemos x_0=0{,}9 (porque está dentro de (0{,}5,1) e relativamente perto da mudança de sinal).
  • Critério de parada: paro quando |x_{n+1}-x_n|\le 10^{-3}.
  • Vou mostrar cada iteração com as contas (valores de \sin e \cos são usados com aproximações numéricas com precisão suficiente para a meta \;10^{-3}).

Passo 5

Aplicando Newton — iteração 0 → 1 a partir de \;x_0=0{,}9.
  • Calcular f(x_0) e f'(x_0):
f(0{,}9)=0{,}9^{2}-\sin(0{,}9)\approx 0{,}81-0{,}7833269096=0{,}0266730904,
f'(0{,}9)=2\cdot0{,}9-\cos(0{,}9)\approx 1{,}8-0{,}6216099683=1{,}1783900317.
  • Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=0{,}9-\frac{0{,}0266730904}{1{,}1783900317}\approx 0{,}9-0{,}022635\approx 0{,}877365.
  • Mudança |x_1-x_0| \approx 0{,}022635 > 10^{-3}, então continua.

Passo 6

Aplicando Newton — iteração 1 → 2 a partir de \;x_1\approx 0{,}877365.
  • Calcular f(x_1) e f'(x_1). Para computar \sin(0{,}877365) e \cos(0{,}877365) usei expansão de soma (ou uma calculadora) para garantir precisão necessária; aqui apresento os valores aproximados usados:
\sin(0{,}877365)\approx 0{,}7690603,\qquad \cos(0{,}877365)\approx 0{,}6391929.
  • Então
f(0{,}877365)\approx 0{,}877365^{2}-0{,}7690603\approx 0{,}76977195-0{,}7690603\approx 0{,}00071165,
f'(0{,}877365)\approx 2\cdot0{,}877365-0{,}6391929\approx 1{,}75473-0{,}6391929\approx 1{,}1155371.
  • Passo de Newton:
x_{2}=0{,}877365-\frac{0{,}00071165}{1{,}1155371}\approx 0{,}877365-0{,}0006378\approx 0{,}876727.
  • Mudança |x_2-x_1|\approx 0{,}0006378. Como |x_2-x_1|<10^{-3}, atingimos o critério pedido e podemos parar.

Passo 7

Interpretação dos resultados e verificação rápida.
  • Temos duas raízes reais:
    • a raiz exata \;x=0;
    • a raiz positiva aproximada \;x\approx 0{,}876727.
  • A precisão requerida é \le 10^{-3}. Arredondando a raiz positiva com três casas decimais (seguindo arredondamento usual) obtemos \;x\approx 0{,}877.
  • Se for necessário, pode-se fazer mais uma iteração para obter maior precisão, mas para o enunciado a aproximação já satisfaz o erro pedido porque a mudança entre iteradas finais foi menor que 10^{-3}.

Resposta

x=0
x\approx 0,877

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