Usando o método de Newton, resolva as equações a seguir considerando erro
:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se resolver a equação
usando o método de Newton até que o erro seja . - Informação dada: a função implícita da equação é
. - O critério de parada que vou usar é o mais usual: a diferença entre duas iterações sucessivas em valor de
ser menor ou igual a ; isto é, parar quando . - Objetivo prático aqui: encontrar todas as raízes reais (se houver mais de uma) dentro da precisão pedida.
Passo 2
Breve aula sobre o método de Newton (fórmula e interpretação) — sem pular etapas.
- Ideia: dada uma função
com derivada , o método de Newton gera uma sequência por
- O raciocínio geométrico: em cada
aproximamos por sua reta tangente e usamos a interseção dessa reta com o eixo como aproximação seguinte. - Para aplicar precisamos:
- conhecer explicitamente
e , - escolher uma aproximação inicial
, - calcular iterações até o critério de parada.
- conhecer explicitamente
- Aqui:
- Significado das variáveis:
-
é a aproximação corrente da raiz, -
é o valor da função nessa aproximação (quanto ainda falta zerar), -
é a inclinação da função naquele ponto (importante para o passo).
-
- Observação prática: o método converge rápido quando
não é muito pequeno e quando a aproximação inicial está razoavelmente perto da raiz.
Passo 3
Identificação das raízes candidatas (inspeção rápida da função).
- Note que
. Logo é uma raíz exata. - Para procurar outras raízes, observe que
. Para tem-se e então sempre; assim quaisquer raízes devem satisfazer . - Calculando alguns valores para achar mudanças de sinal:
-
(negativo); -
(positivo).
-
- Como
e , existe pelo menos uma raiz no intervalo . Como já temos a raiz , concluímos que há outra raiz positiva em . Não há raiz negativa além de (para , então salvo em ).
Passo 4
Decidindo aproximações iniciais e critério numérico.
- Para a raiz trivial,
, já sabemos que é solução exata; não precisamos iterar. - Para a segunda raiz positiva, escolhemos
(porque está dentro de e relativamente perto da mudança de sinal). - Critério de parada: paro quando
. - Vou mostrar cada iteração com as contas (valores de
e são usados com aproximações numéricas com precisão suficiente para a meta ).
Passo 5
Aplicando Newton — iteração 0 → 1 a partir de
.
- Calcular
e :
- Aplicando a fórmula de Newton:
- Mudança
, então continua.
Passo 6
Aplicando Newton — iteração 1 → 2 a partir de
.
- Calcular
e . Para computar e usei expansão de soma (ou uma calculadora) para garantir precisão necessária; aqui apresento os valores aproximados usados:
- Então
- Passo de Newton:
- Mudança
. Como , atingimos o critério pedido e podemos parar.
Passo 7
Interpretação dos resultados e verificação rápida.
- Temos duas raízes reais:
- a raiz exata
; - a raiz positiva aproximada
.
- a raiz exata
- A precisão requerida é
. Arredondando a raiz positiva com três casas decimais (seguindo arredondamento usual) obtemos . - Se for necessário, pode-se fazer mais uma iteração para obter maior precisão, mas para o enunciado a aproximação já satisfaz o erro pedido porque a mudança entre iteradas finais foi menor que
.