Usando o método de Newton, resolva as equações a seguir considerando erro
:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são as informações dadas:
- Pede: usar o método de Newton para resolver a equação
com erro . - Informações dadas:
- A função cuja raiz procuramos é
. - A tolerância exigida para o resultado é
(erro máximo permitido).
- A função cuja raiz procuramos é
- Objetivo concreto: encontrar um valor
tal que , usando iterações de Newton até que a condição de erro seja satisfeita.
Passo 2
O método de Newton (intuição e fórmula):
- Intuição curta e amigável: a cada passo o método aproxima a curva
por sua reta tangente no ponto atual e usa a interseção dessa reta com o eixo como a próxima aproximação . Isso costuma convergir rápido quando a aproximação inicial é razoável. - Fórmula iterativa (fórmula principal do método):
- O que cada símbolo significa:
-
é a aproximação atual da raiz. -
é a próxima aproximação calculada. -
é o valor da função no ponto . -
é a derivada da função no ponto .
-
- Critério de parada: vou usar a diferença entre iterações consecutivas como medida do erro. Ou seja, paro quando
Essa é uma escolha prática e compatível com a exigência do enunciado; outra possibilidade seria usar
, mas a diferença de iterações é simples e confiável aqui.
Passo 3
Escolha de uma aproximação inicial
e justificativa:
- Primeiro verifico sinais simples para encontrar um intervalo onde exista raiz (teorema do valor intermediário):
-
(negativo). -
(positivo). - Como os sinais em
e são opostos, existe ao menos uma raiz em .
-
- Faço avaliações rápidas para uma boa escolha inicial:
-
. -
. - Como a raiz está entre
e , escolho uma aproximação central: . É uma escolha eficiente porque já fica bem perto da raiz.
-
Passo 4
Derivada necessária e preparação para iterar:
- A derivada da função é
- Vamos usar a fórmula de Newton com
e acima.
Passo 5
Primeira iteração (de
para
) — cálculos passo a passo:
- Ponto inicial:
. - Calcular
: Sabendo , obtemos - Calcular
: - Aplicar a fórmula de Newton:
- Diferença entre iterações:
Como , ainda não alcançamos a tolerância, então precisamos de mais uma iteração.
Passo 6
Segunda iteração (de
para
) — cálculos passo a passo:
- Ponto atual:
. - Calcular
: Estimando (próximo do valor anterior), obtemos (Observação: o valor é muito pequeno, da ordem , como esperado para Newton perto da raiz.) - Calcular
: - Aplicar a fórmula de Newton:
- Diferença entre iterações:
Agora , então a condição de parada está satisfeita.