Dado o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+x_{2}+x_{3}=5 \\\\ 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=6 \\\\ 3 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}=0 \end{array}\right.
(a) Verifique o critério de Sassenfeld.
(b) Se caso o critério do item (a) for satisfeito, resolva o sistema usando o Método de GaussSeidel com x^{(0)}=(0,0,0)^{T} e erro relativo de \epsilon<10^{-2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Sistema linear dado:
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+x_{2}+x_{3}=5,\\[4pt] 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=6,\\[4pt] 3 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}=0. \end{array}\right.
  • Perguntas:
    (a) Verificar o critério de Sassenfeld para este sistema.
    (b) Caso o critério do item (a) seja satisfeito, aplicar o método de Gauss–Seidel com vetor inicial \,x^{(0)}=(0,0,0)^{T}\, e parar quando o erro relativo for \epsilon<10^{-2}.
  • Informação adicional (necessária para resolver): o método iterativo de Gauss–Seidel atualiza sequencialmente x_1,x_2,x_3 usando as últimas componentes disponíveis; o critério de Sassenfeld fornece condições que garantem convergência do Gauss–Seidel.]

Passo 2

Apresentação e cálculo do critério de Sassenfeld (explicação didática).
  • O critério de Sassenfeld define números \beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n pela fórmula recursiva:
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\Bigg(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\Bigg),
onde a_{ij} são os coeficientes da matriz A do sistema A x=b. Interpretação: cada \beta_i mede, em termos absolutos, a influência dos coeficientes fora da diagonal na equação i, pesando já as influências anteriores por \beta_j. Se \max_i \beta_i<1, então o critério de Sassenfeld é satisfeito e o método de Gauss–Seidel converge para a solução a partir de qualquer chute inicial.
  • Aplicando ao nosso sistema: a matriz A tem elementos
A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 4 & 1\\[4pt] 3 & 3 & 6 \end{pmatrix}.
Calculemos \beta_1,\beta_2,\beta_3 passo a passo:
\beta_1=\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|}=\frac{1+1}{5}=\frac{2}{5}=0,4.
\beta_2=\frac{|a_{21}|\beta_1+|a_{23}|}{|a_{22}|}=\frac{3\cdot 0,4+1}{4}=\frac{1,2+1}{4}=\frac{2,2}{4}=0,55.
\beta_3=\frac{|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2}{|a_{33}|}=\frac{3\cdot 0,4+3\cdot 0,55}{6}=\frac{1,2+1,65}{6}=\frac{2,85}{6}=0,475.
  • Conclusão do critério: como \beta_1=0,4,\\ \beta_2=0,55,\\ \beta_3=0,475 e \max\{\beta_i\}=0,55<1, o critério de Sassenfeld é satisfeito. Portanto, o método de Gauss–Seidel converge para a solução a partir de qualquer chute inicial, em particular de x^{(0)}=(0,0,0)^{T}.]

Passo 3

Preparação do método de Gauss–Seidel (como obter as fórmulas iterativas).
  • Explicação das fórmulas: para aplicar Gauss–Seidel escrevemos cada equação isolando a incógnita principal x_i. Para o nosso sistema:
Da primeira equação:
5x_1+x_2+x_3=5\quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{5-x_2-x_3}{5}.
Da segunda:
3x_1+4x_2+x_3=6\quad\Rightarrow\quad x_2=\frac{6-3x_1-x_3}{4}.
Da terceira:
3x_1+3x_2+6x_3=0\quad\Rightarrow\quad x_3=\frac{-3x_1-3x_2}{6}=-\frac{x_1+x_2}{2}.
  • Regra de atualização (Gauss–Seidel): na iteração k+1 calcula-se x_1^{(k+1)} usando os valores x_2^{(k)}, x_3^{(k)} (ou já atualizados se disponíveis); em seguida x_2^{(k+1)} usando x_1^{(k+1)} e x_3^{(k)}; por fim x_3^{(k+1)} usando x_1^{(k+1)} e x_2^{(k+1)}.

Passo 4

Critério de parada (escolha e explicação didática).
  • Vamos usar o erro relativo baseado na norma infinito (máximo módulo de componente):
\text{erro relativo}_k=\frac{\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}}{\|x^{(k+1)}\|_{\infty}},
onde \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|. Justificativa: é uma medida simples e comum que compara a maior variação absoluta entre iterações com a maior componente da solução aproximada; quando o denominador for zero (situação rara), usa-se o critério absoluto \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\epsilon. Pararemos quando \text{erro relativo}_k<10^{-2}.

Passo 5

Iteração 1 (partindo de x^{(0)}=(0,0,0)^{T}) — cálculos detalhados.
  • Inicial: x^{(0)}=(0,0,0)^{T}.
Calcule x_1^{(1)}:
x_1^{(1)}=\frac{5-x_2^{(0)}-x_3^{(0)}}{5}=\frac{5-0-0}{5}=1.
Calcule x_2^{(1)} (usar x_1^{(1)} recém-calculado):
x_2^{(1)}=\frac{6-3x_1^{(1)}-x_3^{(0)}}{4}=\frac{6-3\cdot 1-0}{4}=\frac{3}{4}=0,75.
Calcule x_3^{(1)} (usar x_1^{(1)},x_2^{(1)}):
x_3^{(1)}=-\frac{x_1^{(1)}+x_2^{(1)}}{2}=-\frac{1+0,75}{2}=-\frac{1,75}{2}=-0,875.
Resultado da iteração 1:
x^{(1)}=(1,\;0,75,\;-0,875)^{T}.
Cálculo do erro relativo entre x^{(1)} e x^{(0)}:
\|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max\{1,0,75,0,875\}=1, \qquad \|x^{(1)}\|_{\infty}=1,
\text{erro relativo}_0=\frac{1}{1}=1>0,01,
logo não paramos.

Passo 6

Iteração 2 — cálculos detalhados.
Calcule x_1^{(2)} usando x_2^{(1)},x_3^{(1)}:
x_1^{(2)}=\frac{5-0,75-(-0,875)}{5}=\frac{5-0,75+0,875}{5}=\frac{5,125}{5}=1,025.
Calcule x_2^{(2)} usando x_1^{(2)},x_3^{(1)}:
x_2^{(2)}=\frac{6-3\cdot 1,025-(-0,875)}{4}=\frac{6-3,075+0,875}{4}=\frac{3,8}{4}=0,95.
Calcule x_3^{(2)} usando x_1^{(2)},x_2^{(2)}:
x_3^{(2)}=-\frac{1,025+0,95}{2}=-\frac{1,975}{2}=-0,9875.
Resultado da iteração 2:
x^{(2)}=(1,025,\;0,95,\;-0,9875)^{T}.
Erro relativo:
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max\{0,025,\;0,2,\;0,1125\}=0,2,
\|x^{(2)}\|_{\infty}=1,025,
\text{erro relativo}_1=\frac{0,2}{1,025}\approx0,1951>0,01.
Ainda não satisfazemos a tolerância.

Passo 7

Iteração 3 — cálculos detalhados.
Calcule x_1^{(3)}:
x_1^{(3)}=\frac{5-0,95-(-0,9875)}{5}=\frac{5-0,95+0,9875}{5}=\frac{5,0375}{5}=1,0075.
Calcule x_2^{(3)}:
x_2^{(3)}=\frac{6-3\cdot 1,0075-(-0,9875)}{4}=\frac{6-3,0225+0,9875}{4}=\frac{3,965}{4}=0,99125.
Calcule x_3^{(3)}:
x_3^{(3)}=-\frac{1,0075+0,99125}{2}=-\frac{1,99875}{2}=-0,999375.
Resultado da iteração 3:
x^{(3)}=(1,0075,\;0,99125,\;-0,999375)^{T}.
Erro relativo:
\|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=\max\{0,0175,\;0,04125,\;0,011875\}=0,04125,
\|x^{(3)}\|_{\infty}=1,0075,
\text{erro relativo}_2=\frac{0,04125}{1,0075}\approx0,04095>0,01.
Ainda não satisfeito.

Passo 8

Iteração 4 — cálculos detalhados e verificação do critério de parada.
Calcule x_1^{(4)}:
x_1^{(4)}=\frac{5-0,99125-(-0,999375)}{5}=\frac{5-0,99125+0,999375}{5}=\frac{5,008125}{5}=1,001625.
Calcule x_2^{(4)}:
x_2^{(4)}=\frac{6-3\cdot 1,001625-(-0,999375)}{4}=\frac{6-3,004875+0,999375}{4}=\frac{3,9945}{4}=0,998625.
Calcule x_3^{(4)}:
x_3^{(4)}=-\frac{1,001625+0,998625}{2}=-\frac{2,00025}{2}=-1,000125.
Resultado da iteração 4:
x^{(4)}=(1,001625,\;0,998625,\;-1,000125)^{T}.
Erro relativo:
\|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}=\max\{0,006125,\;0,007375,\;0,00075\}=0,007375,
\|x^{(4)}\|_{\infty}=1,001625,
\text{erro relativo}_3=\frac{0,007375}{1,001625}\approx0,007364<0,01.
Como \text{erro relativo}_3<10^{-2}, satisfazemos a tolerância pedida. Portanto, interrompemos as iterações e aceitamos x^{(4)} como aproximação.

Passo 9

Resumo final e observações úteis para a prova (como aplicar o procedimento rapidamente):
  • Para verificar Sassenfeld em provas, calcule os \beta_i em ordem: \beta_1 usa somente coeficientes da primeira linha fora da diagonal; \beta_2 usa \beta_1 e os coeficientes da segunda linha, etc. Se o maior \beta_i<1, Gauss–Seidel converge.
  • No Gauss–Seidel, sempre isole x_i na i-ésima equação e atualize sequencialmente usando as componentes já atualizadas dessa mesma iteração.
  • Use norma infinito para um critério de parada simples e prático: compare a maior mudança entre iterações com a maior componente da nova aproximação.

Resposta

(a) Critério de Sassenfeld satisfeito: \beta_1=0,4,\\ \beta_2=0,55,\\ \beta_3=0,475.
(b) Solução aproximada pelo método de Gauss–Seidel com \epsilon<10^{-2}: \displaystyle x\approx(1,001625,\;0,998625,\;-1,000125)^{T} (obtida em 4 iterações).

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