(a) Verifique o critério de Sassenfeld.
(b) Se caso o critério do item (a) for satisfeito, resolva o sistema usando o Método de GaussSeidel com x^{(0)}=(0,0,0)^{T} e erro relativo de \epsilon<10^{-2}.
Perguntas:
(a) Verificar o critério de Sassenfeld para este sistema.
(b) Caso o critério do item (a) seja satisfeito, aplicar o método de Gauss–Seidel com vetor inicial \,x^{(0)}=(0,0,0)^{T}\, e parar quando o erro relativo for \epsilon<10^{-2}.
Informação adicional (necessária para resolver): o método iterativo de Gauss–Seidel atualiza sequencialmente x_1,x_2,x_3 usando as últimas componentes disponíveis; o critério de Sassenfeld fornece condições que garantem convergência do Gauss–Seidel.]
Passo 2
Apresentação e cálculo do critério de Sassenfeld (explicação didática).
O critério de Sassenfeld define números \beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n pela fórmula recursiva:
onde a_{ij} são os coeficientes da matriz A do sistema A x=b. Interpretação: cada \beta_i mede, em termos absolutos, a influência dos coeficientes fora da diagonal na equação i, pesando já as influências anteriores por \beta_j. Se \max_i \beta_i<1, então o critério de Sassenfeld é satisfeito e o método de Gauss–Seidel converge para a solução a partir de qualquer chute inicial.
Aplicando ao nosso sistema: a matriz A tem elementos
Conclusão do critério: como \beta_1=0,4,\\ \beta_2=0,55,\\ \beta_3=0,475 e \max\{\beta_i\}=0,55<1, o critério de Sassenfeld é satisfeito. Portanto, o método de Gauss–Seidel converge para a solução a partir de qualquer chute inicial, em particular de x^{(0)}=(0,0,0)^{T}.]
Passo 3
Preparação do método de Gauss–Seidel (como obter as fórmulas iterativas).
Explicação das fórmulas: para aplicar Gauss–Seidel escrevemos cada equação isolando a incógnita principal x_i. Para o nosso sistema:
Regra de atualização (Gauss–Seidel): na iteração k+1 calcula-se x_1^{(k+1)} usando os valores x_2^{(k)}, x_3^{(k)} (ou já atualizados se disponíveis); em seguida x_2^{(k+1)} usando x_1^{(k+1)} e x_3^{(k)}; por fim x_3^{(k+1)} usando x_1^{(k+1)} e x_2^{(k+1)}.
Passo 4
Critério de parada (escolha e explicação didática).
Vamos usar o erro relativo baseado na norma infinito (máximo módulo de componente):
onde \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|. Justificativa: é uma medida simples e comum que compara a maior variação absoluta entre iterações com a maior componente da solução aproximada; quando o denominador for zero (situação rara), usa-se o critério absoluto \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\epsilon. Pararemos quando \text{erro relativo}_k<10^{-2}.
Passo 5
Iteração 1 (partindo de x^{(0)}=(0,0,0)^{T}) — cálculos detalhados.
Como \text{erro relativo}_3<10^{-2}, satisfazemos a tolerância pedida. Portanto, interrompemos as iterações e aceitamos x^{(4)} como aproximação.
Passo 9
Resumo final e observações úteis para a prova (como aplicar o procedimento rapidamente):
Para verificar Sassenfeld em provas, calcule os \beta_i em ordem: \beta_1 usa somente coeficientes da primeira linha fora da diagonal; \beta_2 usa \beta_1 e os coeficientes da segunda linha, etc. Se o maior \beta_i<1, Gauss–Seidel converge.
No Gauss–Seidel, sempre isole x_i na i-ésima equação e atualize sequencialmente usando as componentes já atualizadas dessa mesma iteração.
Use norma infinito para um critério de parada simples e prático: compare a maior mudança entre iterações com a maior componente da nova aproximação.
Resposta
(a) Critério de Sassenfeld satisfeito: \beta_1=0,4,\\ \beta_2=0,55,\\ \beta_3=0,475.
(b) Solução aproximada pelo método de Gauss–Seidel com \epsilon<10^{-2}: \displaystyle x\approx(1,001625,\;0,998625,\;-1,000125)^{T} (obtida em 4 iterações).