Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão
.
Localize um intervalo I de amplitude 1, que contenha o zero.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para, usando o método da bissecção, encontrar uma raiz da equação
com precisão
. Além disso pede que seja localizada uma intervalo
de amplitude
que contenha a raiz (o “zero”).
Informações dadas:
- A função é
. - Precisões pedidas:
e . - Deve ser encontrado um intervalo
com comprimento que contenha uma raiz. - Deve-se aplicar o método da bissecção até satisfazer o(s) critério(s) de parada.
Passo 2
O método da bissecção (resumo prático e fórmula):
- Começa-se com um intervalo
tal que e tenham sinais opostos (ou seja, ). Isso garante existência de uma raiz em por continuidade. - Em cada iteração calcula-se o ponto médio
- Avalia-se
. Se (raro em aritmética finita) encontrou-se a raiz exatamente. Caso contrário escolhe-se o subintervalo onde há mudança de sinal: - se
então a raiz está em (substitui-se ); - se
então a raiz está em (substitui-se ).
- se
- Critérios de parada usuais (usados aqui): parar quando pelo menos uma das condições for satisfeita:
- O erro em
(meio do intervalo) é pequeno: . - O valor da função no ponto médio é pequeno:
.
- O erro em
Vou usar ambos: paro quando
ou quando
, o que ocorrer primeiro.
Passo 3
Localizar um intervalo de amplitude
contendo a raiz:
- Calculo valores em pontos inteiros para localizar mudança de sinal.
Como
e
, há mudança de sinal no intervalo
. Esse intervalo tem amplitude
e contém pelo menos uma raiz. Então escolhemos
Passo 4
Começamos a aplicar a bissecção em
. Em cada iteração vou mostrar
,
(valores aproximados) e o novo intervalo escolhido.
-
.
.
Como
e
, nova base:
.
-
.
.
Mudança de sinal entre
e
⇒ novo intervalo:
.
-
.
.
Mudança de sinal entre
e
⇒ novo intervalo:
.
-
.
.
Nova base:
.
-
.
.
Nova base:
.
-
.
.
Mudança de sinal entre
e
⇒ novo intervalo:
.
-
.
.
Novo intervalo:
.
-
.
.
Novo intervalo:
.
-
.
.
Novo intervalo:
.
-
.
.
Novo intervalo:
.
-
.
Estimativa:.
Novo intervalo:
.
-
.
Estimativa por média:.
Agora o sinal mudou entre
e
, portanto o novo intervalo é
.
Observação sobre tamanhos dos intervalos: após
iterações a largura do intervalo é
portanto
— ainda não satisfeito o critério de erro em
. Resta verificar
.
-
.
Cálculo aproximado:
.
.
Aqui obtemos
. Logo o critério
é satisfeito na iteração 13.
Nota: a outra condição sobre o erro em
(metade do intervalo) ainda não era satisfeita (pois
), mas como foi pedido que se use o método da bissecção com as precisões indicadas, é aceitável parar quando UMA das condições (aqui
) é satisfeita. Portanto podemos aceitar
como aproximação da raiz com a precisão pedida em valor de função.
Passo 5
Interpretação final: a bissecção encontrou, depois de 13 avaliações médias, o ponto
tal que
. O intervalo inicial escolhido com amplitude
que contém a raiz foi
. Se for necessário arredondar a resposta de acordo com
, podemos apresentar a raiz com 4 casas decimais.