Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0,0001.
Localize um intervalo I de amplitude 1, que contenha o zero.
c) f(x)=\ln (x)-\operatorname{sen}(x)=0

Passo 1

O enunciado pede para, usando o método da bissecção, encontrar uma raiz da equação
f(x)=\ln(x)-\operatorname{sen}(x)=0
com precisão \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0{,}0001. Além disso pede que seja localizada uma intervalo I de amplitude 1 que contenha a raiz (o “zero”).
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\ln(x)-\operatorname{sen}(x).
  • Precisões pedidas: \epsilon_{1}=0{,}0001 e \epsilon_{2}=0{,}0001.
  • Deve ser encontrado um intervalo I com comprimento 1 que contenha uma raiz.
  • Deve-se aplicar o método da bissecção até satisfazer o(s) critério(s) de parada.

Passo 2

O método da bissecção (resumo prático e fórmula):
  • Começa-se com um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0). Isso garante existência de uma raiz em [a,b] por continuidade.
  • Em cada iteração calcula-se o ponto médio
c=\frac{a+b}{2}.
  • Avalia-se f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 (raro em aritmética finita) encontrou-se a raiz exatamente. Caso contrário escolhe-se o subintervalo onde há mudança de sinal:
    • se f(a)\cdot f\text{(c)}<0 então a raiz está em [a,c] (substitui-se b\leftarrow c);
    • se f\text{(c)}\cdot f(b)<0 então a raiz está em [c,b] (substitui-se a\leftarrow c).
  • Critérios de parada usuais (usados aqui): parar quando pelo menos uma das condições for satisfeita:
    1. O erro em x (meio do intervalo) é pequeno: \dfrac{b-a}{2}\le\epsilon_{1}.
    2. O valor da função no ponto médio é pequeno: |f\text{(c)}|\le\epsilon_{2}.
Vou usar ambos: paro quando \dfrac{b-a}{2}\le 0{,}0001 ou quando |f\text{(c)}|\le 0{,}0001, o que ocorrer primeiro.

Passo 3

Localizar um intervalo de amplitude 1 contendo a raiz:
  • Calculo valores em pontos inteiros para localizar mudança de sinal.
f(1)=\ln(1)-\operatorname{sen}(1)=0-0{,}841470\approx -0{,}841470.
f(2)=\ln(2)-\operatorname{sen}(2)\approx 0{,}693147-0{,}909297\approx -0{,}216150.
f(3)=\ln(3)-\operatorname{sen}(3)\approx 1{,}098612-0{,}141120\approx 0{,}957492.
Como f(2)<0 e f(3)>0, há mudança de sinal no intervalo [2,3]. Esse intervalo tem amplitude 1 e contém pelo menos uma raiz. Então escolhemos
I=[2,3].

Passo 4

Começamos a aplicar a bissecção em [a,b]=[2,3]. Em cada iteração vou mostrar c, f\text{(c)} (valores aproximados) e o novo intervalo escolhido.
  1. c_{1}=\dfrac{2+3}{2}=2{,}5.
    \ln(2{,}5)\approx 0{,}916291,\\ \operatorname{sen}(2{,}5)\approx 0{,}598472.
f(2{,}5)\approx 0{,}916291-0{,}598472=0{,}317819>0.
Como f(2)<0 e f(2{,}5)>0, nova base: [2,2{,}5].
  1. c_{2}=2{,}25.
    \ln(2{,}25)\approx 0{,}810930,\\ \operatorname{sen}(2{,}25)\approx 0{,}777371.
f(2{,}25)\approx 0{,}033559>0.
Mudança de sinal entre 2 e 2{,}25 ⇒ novo intervalo: [2,2{,}25].
  1. c_{3}=2{,}125.
    \ln(2{,}125)\approx 0{,}753771,\\ \operatorname{sen}(2{,}125)\approx 0{,}850436.
f(2{,}125)\approx -0{,}096665<0.
Mudança de sinal entre 2{,}125 e 2{,}25 ⇒ novo intervalo: [2{,}125,2{,}25].
  1. c_{4}=2{,}1875.
    \ln(2{,}1875)\approx 0{,}782759,\\ \operatorname{sen}(2{,}1875)\approx 0{,}815557.
f(2{,}1875)\approx -0{,}032798<0.
Nova base: [2{,}1875,2{,}25].
  1. c_{5}=2{,}21875.
    \ln(2{,}21875)\approx 0{,}796944,\\ \operatorname{sen}(2{,}21875)\approx 0{,}797310.
f(2{,}21875)\approx -0{,}000366<0.
Nova base: [2{,}21875,2{,}25].
  1. c_{6}=2{,}234375.
    \ln(2{,}234375)\approx 0{,}803937,\\ \operatorname{sen}(2{,}234375)\approx 0{,}787677.
f(2{,}234375)\approx 0{,}016260>0.
Mudança de sinal entre 2{,}21875 e 2{,}234375 ⇒ novo intervalo: [2{,}21875,2{,}234375].
  1. c_{7}=2{,}2265625.
    \ln(2{,}2265625)\approx 0{,}800441,\\ \operatorname{sen}(2{,}2265625)\approx 0{,}792585.
f(2{,}2265625)\approx 0{,}007856>0.
Novo intervalo: [2{,}21875,2{,}2265625].
  1. c_{8}=2{,}22265625.
    \ln(2{,}22265625)\approx 0{,}7986925,\\ \operatorname{sen}(2{,}22265625)\approx 0{,}794960.
f(2{,}22265625)\approx 0{,}003733>0.
Novo intervalo: [2{,}21875,2{,}22265625].
  1. c_{9}=2{,}220703125.
    \ln(2{,}220703125)\approx 0{,}797818,\\ \operatorname{sen}(2{,}220703125)\approx 0{,}796144.
f(2{,}220703125)\approx 0{,}001674>0.
Novo intervalo: [2{,}21875,2{,}220703125].
  1. c_{10}=2{,}2197265625.
    \ln(2{,}2197265625)\approx 0{,}797381,\\ \operatorname{sen}(2{,}2197265625)\approx 0{,}796729.
f(2{,}2197265625)\approx 0{,}000652>0.
Novo intervalo: [2{,}21875,2{,}2197265625].
  1. c_{11}=2{,}21923828125.
    Estimativa: \ln(2{,}21923828125)\approx 0{,}7971625,\\ \operatorname{sen}(2{,}21923828125)\approx 0{,}797016.
f(2{,}21923828125)\approx 0{,}000146>0.
Novo intervalo: [2{,}21875,2{,}21923828125].
  1. c_{12}=2{,}218994140625.
    Estimativa por média: \ln(2{,}218994140625)\approx 0{,}7970625,\\ \operatorname{sen}(2{,}218994140625)\approx 0{,}797172.
f(2{,}218994140625)\approx -0{,}000110<0.
Agora o sinal mudou entre 2{,}218994140625 e 2{,}21923828125, portanto o novo intervalo é [2{,}218994140625,\,2{,}21923828125].
Observação sobre tamanhos dos intervalos: após 12 iterações a largura do intervalo é
b-a=\frac{1}{2^{12}}=0{,}000244140625,
portanto \dfrac{b-a}{2}=0{,}0001220703125>0{,}0001 — ainda não satisfeito o critério de erro em x. Resta verificar |f\text{(c)}|.
  1. c_{13}=\dfrac{2{,}218994140625+2{,}21923828125}{2}=2{,}2191162109375.
    Cálculo aproximado:
    \ln(2{,}2191162109375)\approx 0{,}797108.
    \operatorname{sen}(2{,}2191162109375)=\operatorname{sen}\bigl(\pi-2{,}2191162109375\bigr)\approx 0{,}797088.
f(2{,}2191162109375)\approx 0{,}797108-0{,}797088\approx 0{,}000020.
Aqui obtemos |f(c_{13})|\approx 0{,}000020\le 0{,}0001=\epsilon_{2}. Logo o critério |f\text{(c)}|\le\epsilon_{2} é satisfeito na iteração 13.
Nota: a outra condição sobre o erro em x (metade do intervalo) ainda não era satisfeita (pois \dfrac{b-a}{2}=0{,}00012207>0{,}0001), mas como foi pedido que se use o método da bissecção com as precisões indicadas, é aceitável parar quando UMA das condições (aqui |f\text{(c)}|\le\epsilon_{2}) é satisfeita. Portanto podemos aceitar c_{13} como aproximação da raiz com a precisão pedida em valor de função.

Passo 5

Interpretação final: a bissecção encontrou, depois de 13 avaliações médias, o ponto
c=2{,}2191162109375
tal que |f\text{(c)}|\le 0{,}0001. O intervalo inicial escolhido com amplitude 1 que contém a raiz foi I=[2,3]. Se for necessário arredondar a resposta de acordo com \epsilon=0{,}0001, podemos apresentar a raiz com 4 casas decimais.

Resposta

I=[2,3]
x\approx 2{,}2191

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