Usando o método de Euler, calcule a solução aproximada do seguinte PVI:
l y^prime=f(x, y)=y-x y(x0)=y(0)=2
no intervalo x in[a, b]=[0,1]
a) usando um espaçamento de h1=0.2.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a gente precisa aproximar a solução do PVI
y' = f(x,y) = y - x, y(0)=2,
no intervalo yn+1 = yn + h,f(xn,yn) usando o método de Euler com passo .
Conteúdo: método numérico para EDO (Euler explícito).
O que vamos usar: dividir em subintervalos de tamanho e aplicar a fórmula

Passo 2

Primeiro, montamos a grade de pontos:
xn = 0.2,n, n=0,1,2,3,4,5,
então yn+1 = yn + 0.2,(yn - xn) , …, .
A fórmula de Euler explícito para nosso caso fica
Agora é só ir passo a passo calculando cada .

Passo 3

n=0→1:
  • y1 = y0 + 0.2cdot 2 = 2 + 0.4 = 2.4 , .
  • .
  • Logo

Passo 4

n=1→2:
  • y2 = 2.4 + 0.2cdot 2.2 = 2.4 + 0.44 = 2.84 , .
  • .
  • Então

Passo 5

n=2→3:
  • y3 = 2.84 + 0.2cdot 2.44 = 2.84 + 0.488 = 3.328 , .
  • .
  • Logo

Passo 6

n=3→4:
  • y4 = 3.328 + 0.2cdot 2.728 = 3.328 + 0.5456 = 3.8736 , .
  • .
  • Então

Passo 7

n=4→5:
  • y5 = 3.8736 + 0.2cdot 3.0736 = 3.8736 + 0.61472 = 4.48832 , .
  • .
  • Logo

Passo 8

Pronto! Agora temos a lista de para todos os nós de 0 a 1 com passo 0.2. Basta organizar.

Resposta

Aproximações pelo método de Euler com :
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2.000 2.400 2.840 3.328 3.8736 4.48832

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