Usando o Método de Gauss, encontre os valores de alpha para os quais o sistema linear abaixo é impossível, possível determinado e possível indeterminado.
ll x+y+z & =2 2 x+3 y+2 z & =5 2 x+3 y+(alpha^2-1) z & =alpha+1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício nos pede. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis , e . O objetivo é usar o Método de Gauss para encontrar os valores de que tornam o sistema:
  • Impossível: Não tem solução.
  • Possível Determinado: Tem uma única solução.
  • Possível Indeterminado: Tem infinitas soluções.
Para resolver isso, precisaremos manipular as equações para descobrir como afeta a solução do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema em forma de matriz aumentada. Isso nos ajudará a aplicar as operações de linha do Método de Gauss de forma mais organizada.
1 & 1 & 1 & | & 2 2 & 3 & 2 & | & 5 2 & 3 & alpha^2 - 1 & | & alpha + 1

Passo 3

Vamos começar eliminando o 1 & 1 & 1 & | & 2 0 & 1 & 0 & | & 1 2 & 3 & alpha^2 - 1 & | & alpha + 1 das segunda e terceira equações. Para isso, subtrairemos duas vezes a primeira equação da segunda, e duas vezes a primeira equação da terceira.
Primeira operação: 1 & 1 & 1 & | & 2 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 1 & alpha^2 - 3 & | & alpha - 3
Segunda operação:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 1 & 1 & 1 & | & 2 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & alpha^2 - 3 & | & alpha - 4 da terceira equação. Subtrairemos a segunda equação da terceira.
Operação:

Passo 5

Agora temos uma matriz triangular, e podemos analisar as soluções dependendo do valor de (alpha^2 - 3)z = alpha - 4 .
A terceira linha nos dá a equação:
Vamos analisar os possíveis casos:
  1. Sistema Possível Determinado: Quando . Nesse caso, podemos resolver para de forma única, e então encontrar e .
  2. Sistema Possível Indeterminado: Quando e . Isso ocorre quando as duas equações se tornam dependentes, resultando em infinitas soluções.
  3. Sistema Impossível: Quando mas . Nesse caso, temos uma contradição, pois não há valor de que satisfaça a equação.

Passo 6

Vamos resolver cada caso:
  1. Sistema Possível Determinado:
    alpha^2 - 3 neq 0 implies alpha neq raiz3 e alpha neq -raiz3
    Para esses valores de alpha^2 - 3 = 0 e alpha - 4 = 0 , o sistema tem uma única solução.
  2. Sistema Possível Indeterminado:
    alpha = raiz3 ou alpha = -raiz3
    Resolvendo alpha = 4 :
    alpha^2 - 3 = 0 e alpha - 4 neq 0
    Mas queremos que raiz3 - 4 neq 0 e -raiz3 - 4 neq 0 :
    Não há valor de que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, não há valores de que tornem o sistema possível indeterminado.
  3. Sistema Impossível:
    Como vimos anteriormente, para . E para esses valores, não é zero:
    Portanto, para e , o sistema é impossível.

Resposta

  • Sistema Impossível: Para e .
  • Sistema Possível Determinado: Para todos os demais valores de que não sejam nem .
  • Sistema Possível Indeterminado: Não há valores de que tornem o sistema indeterminado.

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