Dados os pontos (1,2),(2,5),(3,10) e (4,17), (multiplique esses pontos pelos seus dois últimos números de matrícula) determine o polinômio interpolador de grau 3 que passa por esses pontos. Mostre os passos do cálculo e apresente o polinômio na forma expandida P(x)=a x^3+b x^2+c x+d.

Passo 1

Beleza, a ideia é achar um polinômio cúbico
P(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d
que passe pelos pontos e .
Conteúdo: interpolação polinomial (montar sistema linear e resolver).
O que precisamos: para cada ponto, substituir e igualar a ; daí resolver o sistema de 4 equações para .

Passo 2

Montamos as 4 equações:
  1. em acdot1^3 + bcdot1^2 + ccdot1 + d = 2 Longrightarrow a + b + c + d = 2 :
8a + 4b + 2c + d = 5
  1. em 27a + 9b + 3c + d = 10 :
64a + 16b + 4c + d = 17
  1. em :
  1. em :

Passo 3

Vamos simplificar tirando umas diferenças:
  • (2) – (1):
(8-1)a + (4-1)b + (2-1)c = 5-2 Rightarrow 7a + 3b + c = 3 tagI
  • (3) – (2):
27-8=19,;9-4=5,;3-2=1,;10-5=5 ;Longrightarrow; 19a + 5b + c = 5 tagII
  • (4) – (3):
37a + 7b + c = 7 tagIII

Passo 4

Agora subtrai (II)–(I) e (III)–(II):
  • (II)–(I):
(19-7)a + (5-3)b = 5-3 ;Rightarrow; 12a + 2b = 2 ;Rightarrow; 6a + b = 1 tagIV
  • (III)–(II):
(37-19)a + (7-5)b = 7-5 ;Rightarrow; 18a + 2b = 2 ;Rightarrow; 9a + b = 1 tagV
Comparando (IV) e (V):
6a + b = 1 e 9a + b = 1 ;Longrightarrow; 3a = 0 ;Rightarrow; a = 0
Substituindo em (IV):
6cdot0 + b = 1 ;Rightarrow; b = 1
E em (I):
7cdot0 + 3cdot1 + c = 3 ;Rightarrow; c = 0
Finalmente, da eq. 0 + 1 + 0 + d = 2 ;Rightarrow; d = 1 :

Resposta

O polinômio interpolador é
boxedP(x)=0cdot x^3 +1cdot x^2 + 0cdot x +1 = x^2 + 1

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