Usando o método da iteração linear a equação x^2-x-2=0 cujas raízes são -1 e 2 fica melhor representada, em termos da convergência do método, na forma x=psi(x) se psi(x)=x^2-2 ou psi(x)=raizx+2 ? Para ver isto considere partir da aproximação inicial da raiz 2, x0=2,5 fazendo 5 iterações que sequência de soluções aproximadas converge para 2 e qual diverge.

Passo 1

O enunciado pede para comparar duas formas de iteração fixa para resolver
x^2 - x - 2 = 0,
cuja raiz de interesse é 2. As iterações são
psi1(x) = x^2 - 2, psi2(x) = raizx+2,
e o ponto inicial é x0=2,5. Vamos executar 5 iterações em cada caso e ver qual sequência converge para 2 e qual diverge.

Passo 2

Antes de iterar, verificamos o critério local de convergência: se l|psi'(2)r|<1, a iteração tende a convergir para 2.
Para psi1(x)=x^2-2 temos
psi1'(x)=2x,
logo
psi1'(2)=4>1,
indicando divergência local.
Para psi2(x)=raizx+2 temos
psi2'(x)=12raizx+2,
logo
psi2'(2)=12raiz4=14<1,
indicando convergência local.

Passo 3

Iterações com psi1(x)=x^2-2, x0=2,5:
x1&= (2,5)^2 - 2 = 6,25 - 2 = 4,25, x2&= (4,25)^2 - 2 = 18,0625 - 2 = 16,0625, x3&= (16,0625)^2 - 2 approx 258,0039 - 2 = 256,0039, x4&approx (256,0039)^2 - 2gg 10^4, x5& já é astronomicamente grande áé
Essa sequência claramente diverge.

Passo 4

Iterações com psi2(x)=raizx+2, x0=2,5:
x1&= raiz2,5 + 2 = raiz4,5 approx 2,12132, x2&= raiz2,12132 + 2 = raiz4,12132 approx 2,03037, x3&= raiz2,03037 + 2 = raiz4,03037 approx 2,00757, x4&= raiz2,00757 + 2 = raiz4,00757 approx 2,00189, x5&= raiz2,00189 + 2 = raiz4,00189 approx 2,00047
Aqui vemos convergência rápida para 2.

Passo 5

Comparando os dois métodos, concluímos que
psi2(x)=raizx+2 gera uma sequência convergente para 2,
enquanto psi1(x)=x^2-2 diverge a partir de x0=2,5.

Resposta

A forma x=raizx+2 converge para a raiz 2, e a forma x=x^2-2 diverge.

Exercícios relacionados