Encontre um polinômio interpolador
, tal que, tenha
e 10 como raízes.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um polinômio
que tenha como raízes os números
e
.\n
Dados do enunciado:
Dados do enunciado:
Pergunta a responder: construir um polinômio
que zere nesses pontos (ou seja,
e
).
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): se um número
é raiz de um polinômio, então o fator
divide esse polinômio. Isso é o chamado Teorema do Resto / Teorema do Fator em linguagem prática. Exemplos simples:
Aqui, cada raiz fornece um fator linear do tipo
. Se tivermos várias raízes
, um polinômio que as contenha (de menor grau possível) é proporcional ao produto
A constante de proporcionalidade
pode ser escolhida (por exemplo
para obter um polinômio monico).
Passo 3
Aplicando o conceito ao nosso caso: as raízes são
e
. Logo fatores correspondentes:
Um polinômio de menor grau que tem essas raízes é, portanto, proporcional ao produto desses dois fatores:
onde
é uma constante não nula. Para simplicidade (e porque geralmente se pede “um” polinômio), escolhemos
— isto produz o polinômio monico de grau 2.
Passo 4
Agora vamos expandir o produto
passo a passo (método FOIL / distribuição):
Calcule cada termo:
Passo 5
Some os termos semelhantes (os termos em
):
Portanto o polinômio expandido fica:
(Escolhemos
. Se quiséssemos outra constante multiplicativa, qualquer
multiplicaria toda a expressão.)
Passo 6
Verificação rápida (substituir as raízes para checar que zera):
Ambas as contas dão zero, então o polinômio está correto.
Passo 7
Observação final rápida e encorajamento: existem infinitos polinômios com essas raízes (basta multiplicar por qualquer constante
), mas o polinômio de menor grau e com coeficiente líder igual a
é o que construímos acima. Você conseguiu — uma tarefa curta e direta. Vai dar certo na prova!