Encontre um polinômio interpolador p(x), tal que, tenha -4,5 e 10 como raízes.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um polinômio p(x) que tenha como raízes os números -4,5 e 10.\n
Dados do enunciado:
\text{raízes: } -4,5 \quad\text{e}\quad 10.í
Pergunta a responder: construir um polinômio p(x) que zere nesses pontos (ou seja, p(-4,5)=0 e p(10)=0).

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): se um número r é raiz de um polinômio, então o fator (x-r) divide esse polinômio. Isso é o chamado Teorema do Resto / Teorema do Fator em linguagem prática. Exemplos simples:
\text{se } r=2,\\ \text{então }(x-2)\text{ é um fator;} \quad\text{se } r=-1,\\ \text{então }(x+1)\text{ é um fator.}ãéãé
Aqui, cada raiz fornece um fator linear do tipo (x-r). Se tivermos várias raízes r_1,r_2,\dots,r_n, um polinômio que as contenha (de menor grau possível) é proporcional ao produto
(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n).
A constante de proporcionalidade k\in\mathbb{R}\setminus\{0\} pode ser escolhida (por exemplo k=1 para obter um polinômio monico).

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso caso: as raízes são r_1=-4,5 e r_2=10. Logo fatores correspondentes:
(x- r_1) = \bigl(x-(-4,5)\bigr) = (x+4,5),
(x- r_2) = (x-10).
Um polinômio de menor grau que tem essas raízes é, portanto, proporcional ao produto desses dois fatores:
p(x)=k\,(x+4,5)(x-10),
onde k é uma constante não nula. Para simplicidade (e porque geralmente se pede “um” polinômio), escolhemos k=1 — isto produz o polinômio monico de grau 2.

Passo 4

Agora vamos expandir o produto (x+4,5)(x-10) passo a passo (método FOIL / distribuição):
(x+4,5)(x-10)=x\cdot x + x\cdot(-10) + 4,5\cdot x + 4,5\cdot(-10).
Calcule cada termo:
x\cdot x = x^{2},
x\cdot(-10) = -10x,
4,5\cdot x = 4,5x,
4,5\cdot(-10) = -45.

Passo 5

Some os termos semelhantes (os termos em x):
-10x + 4,5x = -5,5x.
Portanto o polinômio expandido fica:
p(x)=x^{2} - 5,5x - 45.
(Escolhemos k=1. Se quiséssemos outra constante multiplicativa, qualquer k\neq0 multiplicaria toda a expressão.)

Passo 6

Verificação rápida (substituir as raízes para checar que zera):
p(10)=10^{2} - 5,5\cdot 10 - 45 = 100 - 55 - 45 = 0,
p(-4,5)=(-4,5)^{2} - 5,5\cdot(-4,5) - 45 = 20,25 + 24,75 - 45 = 0.
Ambas as contas dão zero, então o polinômio está correto.

Passo 7

Observação final rápida e encorajamento: existem infinitos polinômios com essas raízes (basta multiplicar por qualquer constante k\neq0), mas o polinômio de menor grau e com coeficiente líder igual a 1 é o que construímos acima. Você conseguiu — uma tarefa curta e direta. Vai dar certo na prova!

Resposta

p(x)=(x+4,5)(x-10)=x^{2}-5,5x-45

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