Utilizando o método de Newton, encontre uma da raízes da função
, com erro menor que
. Utilize a métrica de erro
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:
- Pede encontrar uma das raízes da função
usando o método de Newton. - Critério de parada (métrica de erro):
. - Palpite inicial:
.
Resumo das informações relevantes:
- Função:
. - Derivada necessária:
(a calcular). - Iterações começam em
e seguem até que a diferença entre iterações consecutivas seja menor que .
Passo 2
O método de Newton — explicação didática:
- Ideia: aproximar a raiz de
construindo retas tangentes à curva e tomando a interseção dessas tangentes com o eixo . Cada interseção dá uma nova aproximação melhor. - Fórmula geral da iteração de Newton:
- Aqui
é a aproximação atual da raiz. -
é o valor da função nessa aproximação. -
é a derivada da função em . - Para a nossa função
temos:
- Substituindo na fórmula de Newton obtemos, simplificando:
- Esta forma é útil porque é apenas uma média entre
e . (É também conhecida como método de Heron/Babyloniano para .)
Passo 3
Iteração
:
-
. - Aplicando a fórmula:
- Erro entre iterações:
logo não paramos aqui.
Passo 4
Iteração
:
- Calcular
:
- Primeiro
. - Portanto
- Erro entre iterações:
continuamos.
Passo 5
Iteração
:
- Calcular
:
- Primeiro
. - Soma:
. - Portanto
- Erro entre iterações:
ainda não atende o critério.
Passo 6
Iteração
:
- Calcular
:
- Primeiro
. - Soma:
. - Portanto
- Erro entre iterações:
Como a diferença entre iterações consecutivas ficou menor que
, o critério de parada foi satisfeito. Paramos nas iterações.
Passo 7
Comentários finais e verificação rápida (didática):
- O método convergiu rapidamente: em quatro iterações a diferença entre iterações ficou abaixo de
. - Interpretação: a solução obtida é uma aproximação da raiz positiva de
, ou seja, da raiz . - A aproximação final obtida é uma boa aproximação dentro da métrica pedida; se for necessário maior precisão pode-se continuar as iterações.