Utilizando o método de Newton, encontre uma da raízes da função \mathrm{f}(\mathrm{x})= x^{2}-6, com erro menor que 10^{-2}. Utilize a métrica de erro \left|x_{i}-x_{i-1}\right|< 10^{-2} e x_{0}=1.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Pede encontrar uma das raízes da função f(x)=x^{2}-6 usando o método de Newton.
  • Critério de parada (métrica de erro): \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<10^{-2}.
  • Palpite inicial: x_{0}=1.
Resumo das informações relevantes:
  • Função: f(x)=x^{2}-6.
  • Derivada necessária: f'(x) (a calcular).
  • Iterações começam em x_{0}=1 e seguem até que a diferença entre iterações consecutivas seja menor que 10^{-2}.

Passo 2

O método de Newton — explicação didática:
  • Ideia: aproximar a raiz de f construindo retas tangentes à curva y=f(x) e tomando a interseção dessas tangentes com o eixo x. Cada interseção dá uma nova aproximação melhor.
  • Fórmula geral da iteração de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Aqui x_{n} é a aproximação atual da raiz.
  • f(x_{n}) é o valor da função nessa aproximação.
  • f'(x_{n}) é a derivada da função em x_{n}.
  • Para a nossa função f(x)=x^{2}-6 temos:
f'(x)=2x.
  • Substituindo na fórmula de Newton obtemos, simplificando:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-6}{2x_{n}}=\frac{x_{n}+\dfrac{6}{x_{n}}}{2}.
  • Esta forma é útil porque é apenas uma média entre x_{n} e 6/x_{n}. (É também conhecida como método de Heron/Babyloniano para \sqrt{6}.)

Passo 3

Iteração 0\to1:
  • x_{0}=1.
  • Aplicando a fórmula:
x_{1}=\frac{x_{0}+\dfrac{6}{x_{0}}}{2}=\frac{1+\dfrac{6}{1}}{2}=\frac{7}{2}=3,5.
  • Erro entre iterações:
\left|x_{1}-x_{0}\right|=\left|3,5-1\right|=2,5>10^{-2},
logo não paramos aqui.

Passo 4

Iteração 1\to2:
  • Calcular x_{2}:
x_{2}=\frac{x_{1}+\dfrac{6}{x_{1}}}{2}=\frac{3,5+\dfrac{6}{3,5}}{2}.
  • Primeiro \dfrac{6}{3,5}=\dfrac{12}{7}\approx1,714285714285714.
  • Portanto
x_{2}=\frac{3,5+1,714285714285714}{2}=\frac{5,214285714285714}{2}=2,607142857142857.
  • Erro entre iterações:
\left|x_{2}-x_{1}\right|=\left|2,607142857142857-3,5\right|=0,892857142857143>10^{-2},
continuamos.

Passo 5

Iteração 2\to3:
  • Calcular x_{3}:
x_{3}=\frac{x_{2}+\dfrac{6}{x_{2}}}{2}=\frac{2,607142857142857+\dfrac{6}{2,607142857142857}}{2}.
  • Primeiro \dfrac{6}{2,607142857142857}\approx2,301075268817204.
  • Soma: 2,607142857142857+2,301075268817204=4,908218125960061.
  • Portanto
x_{3}=\frac{4,908218125960061}{2}=2,4541090629800305.
  • Erro entre iterações:
\left|x_{3}-x_{2}\right|=\left|2,4541090629800305-2,607142857142857\right|=0,1530337941628265>10^{-2},
ainda não atende o critério.

Passo 6

Iteração 3\to4:
  • Calcular x_{4}:
x_{4}=\frac{x_{3}+\dfrac{6}{x_{3}}}{2}=\frac{2,4541090629800305+\dfrac{6}{2,4541090629800305}}{2}.
  • Primeiro \dfrac{6}{2,4541090629800305}\approx2,444138360993203.
  • Soma: 2,4541090629800305+2,444138360993203=4,8982474239732335.
  • Portanto
x_{4}=\frac{4,8982474239732335}{2}=2,4491237119866167.
  • Erro entre iterações:
\left|x_{4}-x_{3}\right|=\left|2,4491237119866167-2,4541090629800305\right|=0,0049853509934138<10^{-2}.
Como a diferença entre iterações consecutivas ficou menor que 10^{-2}, o critério de parada foi satisfeito. Paramos nas iterações.

Passo 7

Comentários finais e verificação rápida (didática):
  • O método convergiu rapidamente: em quatro iterações a diferença entre iterações ficou abaixo de 10^{-2}.
  • Interpretação: a solução obtida é uma aproximação da raiz positiva de x^{2}-6=0, ou seja, da raiz \sqrt{6}.
  • A aproximação final obtida é uma boa aproximação dentro da métrica pedida; se for necessário maior precisão pode-se continuar as iterações.

Resposta

2,4491237119866167

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