Usando o método de Newton, obtenha um processo para obter b / a numa calculadora que soma, subtrai e multiplica. Obtenha uma aproximação para o valor de 3/13.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o método de Newton e, só com soma, subtração e multiplicação, achar um algoritmo que calcule b/a numa calculadora básica. Depois, aplica isso pra aproximar 3/13. O conteúdo aqui é: método de Newton (também chamado de método de Newton–Raphson), derivadas e iteração numérica. Vamos precisar definir uma função que, ao aplicar Newton, nos dê 1/a, daí é só multiplicar por b para obter b/a.

Passo 2

Primeiro escolhemos uma função cuja raiz seja 1/a. Uma boa escolha é
f(x) = 1x - a
A raiz dessa função satisfaz 1/x = a, ou seja, x = 1/a. Vamos usar Newton, que exige também a derivada:
f'(x) = -1x^2

Passo 3

O passo de Newton é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Substituindo f(x) e f'(x):
$$x_{n+1} = x_n - \frac{\frac{1}{x_n} - a}{-\frac{1}{x_n^2}}
= x_n + x_n^2\Bigl(\tfrac{1}{x_n} - a\Bigr)
= x_n\bigl(2 - a,x_n\bigr).$$
Pronto: só multiplicação, soma e subtração.

Passo 4

Depois de iterar essa fórmula até convergir a 1/a, é só multiplicar o resultado por b para achar
ba = b times 1a approx b,xn

Passo 5

Vamos fazer um exemplo com a=13, b=3 e chute inicial x0=0.1:
  1. x1 = 0.1,(2 - 13cdot0.1) = 0.1cdot0.7 = 0.07, então y1 = 3cdot0.07 = 0.21.
  2. x2 = 0.07,(2 - 13cdot0.07) = 0.07,(2 - 0.91) = 0.07cdot1.09 = 0.0763, y2 = 3cdot0.0763 = 0.2289.
  3. x3 = 0.0763,(2 - 13cdot0.0763) = 0.0763cdot1.0081 approx 0.076917, y3 approx 0.230751.
  4. x4 = 0.076917,(2 - 13cdot0.076917) approx 0.076994, y4 approx 0.230982.
Em poucas iterações já estamos bem próximos de 3/13approx0.230769ldots.

Resposta

Processo:
  1. Definir f(x)=1x - a, f'(x)=-1x^2.
  2. Iterar xn+1=xn,(2 - a,xn) até convergir.
  3. Calcular b,xn para obter b/a.
Aproximação de 3/13 após 4 iterações com x0=0.1: cerca de 0.23098.

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