Usando o método de Newton, obtenha um processo para obter
numa calculadora que soma, subtrai e multiplica. Obtenha uma aproximação para o valor de 3/13.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra usar o método de Newton e, só com soma, subtração e multiplicação, achar um algoritmo que calcule
numa calculadora básica. Depois, aplica isso pra aproximar
. O conteúdo aqui é: método de Newton (também chamado de método de Newton–Raphson), derivadas e iteração numérica. Vamos precisar definir uma função que, ao aplicar Newton, nos dê
, daí é só multiplicar por
para obter
.
Passo 2
Primeiro escolhemos uma função cuja raiz seja
. Uma boa escolha é
A raiz dessa função satisfaz
Passo 3
O passo de Newton é
Substituindo
$$x_{n+1} = x_n - \frac{\frac{1}{x_n} - a}{-\frac{1}{x_n^2}}
= x_n + x_n^2\Bigl(\tfrac{1}{x_n} - a\Bigr)
= x_n\bigl(2 - a,x_n\bigr).$$
Pronto: só multiplicação, soma e subtração.
Pronto: só multiplicação, soma e subtração.
Passo 4
Depois de iterar essa fórmula até convergir a
, é só multiplicar o resultado por
para achar
Passo 5
Vamos fazer um exemplo com
,
e chute inicial
:
-
, então . -
, . -
, . -
, .
Em poucas iterações já estamos bem próximos de
.
Resposta
Processo:
- Definir
, . - Iterar
até convergir. - Calcular
para obter .
Aproximação de
após 4 iterações com
: cerca de
.