Utilize algum método, dos vistos em aula, para encontrar uma raiz real da equação:
p(x)=x^3+8 x^2-4 x-2=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar uma raiz real de
p(x)=x^3+8x^2-4x-2=0
Isso tá em Métodos Numéricos, e a gente vai usar o Método de Newton–Raphson. Precisamos da derivada e de um chute inicial para começar a iteração.

Passo 2

Teoria do Método de Newton–Raphson (bem na moral):
A ideia é aproximar a curva xn+1 ;=; xn ;-;p(xn)p'(xn) por sua reta tangente em e ver onde essa reta corta o eixo . Isso dá a fórmula de iteração
A cada passo você “pula” pro , que normalmente fica bem mais perto da raiz.

Passo 3

Calcular a derivada de p'(x)=ddxl(x^3+8x^2-4x-2r) =3x^2+16x-4 :

Passo 4

Escolher o chute inicial. Vendo que
p(0)=-2e p(1)=1+8-4-2=3,
a raiz tá entre 0 e 1 (porque o sinal muda). Vamos começar com .

Passo 5

Agora é só aplicar Newton:
Fórmula: p(0.5)=0.5^3+8cdot0.5^2-4cdot0.5-2=-1.875, p'(0.5)=3cdot0.5^2+16cdot0.5-4=4.75 .
  1. x1=0.5--1.8754.75approx0.8947 , p(0.8947)approx0.716+6.404-3.579-2approx1.541, p'(0.8947)approx2.401+14.315-4approx12.716
x2=0.8947-1.54112.716approx0.7735
p(0.7735)approx0.462+4.786-3.094-2approx0.154, p'(0.7735)approx1.795+12.376-4approx10.171
  1. x3=0.7735-0.15410.171approx0.7584 ,
  1. ,
Pronto! Em três iterações já chegamos bem na raiz.

Resposta

Uma aproximação da raiz real é
boxedxapprox0.7584

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