Usando a regra composta dos trapezios ( h=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{5}\left(x^{2}+3 x+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede três coisas aplicadas à integral
I=\int_{1}^{5}\left(x^{2}+3x+5\right)\,dx:
  • Calcular a aproximação usando a regra composta dos trapézios com h=1.
  • Calcular o valor exato da integral.
  • Determinar o erro (diferença entre o valor exato e a aproximação).
Informações dadas:
f(x)=x^{2}+3x+5,\qquad a=1,\qquad b=5,\qquad h=1.

Passo 2

Explicando a regra composta dos trapézios (aulas rápidas): a ideia é aproximar a área sob a curva por vários trapézios de base h. Se tiver n subintervalos de largura h em [a,b] (ou seja n=(b-a)/h), a fórmula é
T_{\text{comp}}=h\left(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f(a+i h)\right).
Aqui:
  • h é a largura de cada subintervalo,
  • n é o número de subintervalos,
  • f(a),f(b) são os valores nos extremos,
  • a soma interna agrega os valores nos pontos intermediários.
Também existe uma fórmula de erro teórica para a regra composta dos trapézios: existe \xi\in(a,b) tal que
E=I-T_{\text{comp}}=-\frac{(b-a)}{12}\,h^{2}\,f''(\xi).
Se f'' for contínua e conhecida, isso permite estimar (ou até calcular) o erro.

Passo 3

Calcular n e os pontos de amostragem:
n=\frac{b-a}{h}=\frac{5-1}{1}=4.
Os nós são x_{0}=1, x_{1}=2, x_{2}=3, x_{3}=4, x_{4}=5.

Passo 4

Calcular f em cada nó (mostrando as contas):
\begin{aligned} f(1)&=1^{2}+3\cdot1+5=1+3+5=9,\\[4pt] f(2)&=2^{2}+3\cdot2+5=4+6+5=15,\\[4pt] f(3)&=3^{2}+3\cdot3+5=9+9+5=23,\\[4pt] f(4)&=4^{2}+3\cdot4+5=16+12+5=33,\\[4pt] f(5)&=5^{2}+3\cdot5+5=25+15+5=45. \end{aligned}]

Passo 5

Aplicar a fórmula composta dos trapézios:
T_{\text{comp}}=h\left(\frac{f(1)+f(5)}{2}+\bigl(f(2)+f(3)+f(4)\bigr)\right).
Substituindo h=1 e os valores calculados:
T_{\text{comp}}=1\left(\frac{9+45}{2}+(15+23+33)\right) =\frac{54}{2}+71=27+71=98.
Portanto a aproximação pela regra composta dos trapézios com h=1 é \,98.

Passo 6

Calcular o valor exato da integral (integração direta de um polinômio). Uma primitiva de f(x)=x^{2}+3x+5 é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+5x,
pois derivando F'(x)=x^{2}+3x+5.
Avaliar em b=5 e a=1:
\begin{aligned} F(5)&=\frac{5^{3}}{3}+\frac{3\cdot5^{2}}{2}+5\cdot5 =\frac{125}{3}+\frac{75}{2}+25,\\[4pt] F(1)&=\frac{1^{3}}{3}+\frac{3\cdot1^{2}}{2}+5\cdot1 =\frac{1}{3}+\frac{3}{2}+5. \end{aligned}
Colocando em denominador comum 6:
F(5)=\frac{250}{6}+\frac{225}{6}+\frac{150}{6}=\frac{625}{6}, \qquad F(1)=\frac{2}{6}+\frac{9}{6}+\frac{30}{6}=\frac{41}{6}.
Logo
I=F(5)-F(1)=\frac{625}{6}-\frac{41}{6}=\frac{584}{6}=\frac{292}{3}.
Como decimal, \dfrac{292}{3}\approx97,333\ldots]

Passo 7

Determinar o erro real (diferença exata):
E=I-T_{\text{comp}}=\frac{292}{3}-98=\frac{292}{3}-\frac{294}{3}=-\frac{2}{3}.
O erro é -\dfrac{2}{3}, isto é, a aproximação pelos trapézios ficou maior que o verdadeiro por \dfrac{2}{3}. O erro absoluto é \bigl|E\bigr|=\dfrac{2}{3}\approx0,666\ldots
Podemos verificar com a fórmula teórica do erro: f''(x)=2 é constante, logo para algum \xi tem-se
E=-\frac{(b-a)}{12}\,h^{2}\,f''(\xi)=-\frac{4}{12}\cdot1^{2}\cdot 2=-\frac{8}{12}=-\frac{2}{3},
o que coincide exatamente porque f'' é constante (então o \xi não importa). Assim a conta do erro está confirmada.

Resposta

Aproximação (regra composta dos trapézios, h=1): 98
Valor exato da integral: \dfrac{292}{3}
Erro I-T_{\text{comp}}: -\dfrac{2}{3} (erro absoluto \dfrac{2}{3}\approx0,666\ldots)

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